Koordinatentransformation

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19.12.2017, 17:51	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation Meine Frage: Servus. Ich wollte fragen ob ich diese Aufgabe richtig verstanden habe- Meine Ideen: Ich habe nun die a) so verstanden das ich die Polar-Form gegeben habe und ich daraus die Kartesiche Form herleiten soll... Stimmt das ? Wenn ja habe ich folgendes getan : Sei $\begin{eqnarray} s=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} sin(\phi) = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(\phi) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray}$ daraus würde folgen : $\begin{eqnarray} (\sqrt{x^2+y^2}+y) ( \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} ) \end{eqnarray}$ würde das stimmen ?
19.12.2017, 18:33	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mesut, ich denke, es ist genau andersherum. Z.B. der Punkt (3,4) in kartesischen Koordinaten hat ja (5, arctan(4/3)) als Polarkoordinaten. Polarkoordinaten sind immer die Zahlen $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ . Die Funktion, die aus Polarkoordinaten kartesische Koordinaten macht, lautet also $\begin{eqnarray} F(r,\varphi)=\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix},\qquad r>0,\; 0\leq \varphi < 2\pi \end{eqnarray}$ . (Das sind dann die "eigentlich gemeinten" Punkte der Ebene, die auch in aller Regel so geschrieben werden, wenn etwa Teilmengen des \|R^2 angegeben werden.) Was du nun in der Aufgabe tun sollst, ist ein Urbild $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ anzugeben, so dass $\begin{eqnarray} F(\Omega)=\Omega_F \end{eqnarray}$ . Du sollst also $\begin{eqnarray} \Omega_F \end{eqnarray}$ mit Polarkoordinaten parametrisieren. Das ist nicht allzu schwer, da $\begin{eqnarray} \Omega_F \end{eqnarray}$ sogar fast schon mit Polarkoordinaten parametrisiert ist. Einfach eine kleine Substitution in der Menge machen: setze $\begin{eqnarray} r:=s(1+\sin(\varphi)) \end{eqnarray}$ . Dann formst du nach s um und statt "s € [1,2]" schreibst du für s eben den Ausdruck hin, den du rausbekommen hast. Dann bist du im Prinzip fertig, denn ganz allgemein gilt: Ist $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix} r\cos(\varphi) \\ r\sin(\varphi) \end{pmatrix} \,\Big\vert\ldots\,\right\}\subseteq\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ eine Menge von (in Polarkoordinaten geschriebenen) Punkten der kartesischen Ebene, so ist $\begin{eqnarray} \left\{\begin{pmatrix} r \\ \varphi \end{pmatrix} \,\Big\vert\ldots\,\right\}\subseteq [0,\infty)\times [0,2\pi) \end{eqnarray}$ die zugehörige Menge von Polarkoordinaten. Grüße sibelius84
19.12.2017, 19:07	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sibelius Danke für die Antwort. Ich glaube ich verstehe was du meinst. Wenn ich nun $\begin{eqnarray} r=s(1+sin(\phi)) \end{eqnarray}$ nach s umforme , komme ich auf $\begin{eqnarray} \frac{r}{(1+sin(\phi)) } =s \end{eqnarray}$ . Das heißt also wir haben unsere Polarform gegeben durch : $\begin{eqnarray} r\begin{pmatrix}cos(\phi) \\ sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} r=s (1+sin(\phi)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{r}{(1+sin(\phi)) } \in [1;2] \end{eqnarray}$ . Jetzt sollte es stimmen oder ?
19.12.2017, 19:07	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »

19.12.2017, 19:17	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
zu der b) Ich soll ja nun den Flächeninhalt von Gamma_F bestimmen. Der Flächeninhalt in einem Doppelintegral wird ja bestimmt indem der Integrand 1 ist. Sollte ich dann : $\begin{eqnarray} \int_{1}^{2} \! \int_{0}^{2\pi} \! 1 \, d\phi \, ds \end{eqnarray}$ berechnen ? Das würde dann 2pi ergeben .. Ich bin mir nicht so sicher ich glaube das ist etwas zu naiv überlegt.
19.12.2017, 19:48	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorweg mal dies: Beim Übergang zu Polarkoordinaten wird aus dem d(x,y) ein r·d(r,phi). Das liegt daran, dass r die Jacobideterminante der Polarkoordinatentransformation F ist (wie du leicht ausrechnen kannst) und man gemäß der Transformationsformel bei der Einführung neuer Koordinaten noch mit der Jacobideterminante multiplizieren muss. Nun zur Hauptsache: Du hast ja die Ungleichungen $\begin{eqnarray} 0\leq\varphi\leq 2\pi,\;1\leq\frac{r}{1+\sin(\varphi)}\leq 2 \end{eqnarray}$ . Hier würde ich die hintere Ungleichung nach r umformen (sprich mit dem Nenner multiplizieren). Dann erkennst du die Grenzen für dein inneres Integral ... r dr. (In den Grenzen stehen Funktionen von phi!) Das äußere Integral läuft dann von 0 bis 2pi und integriert wird nach $\begin{eqnarray} d\varphi \end{eqnarray}$ . https://de.wikipedia.org/wiki/Normalbereich www.matheboard.de/archive/36174/thread.html
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21.12.2017, 14:28	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Sibelius, ich saß nun noch einmal an der Aufgabe. Wenn ich nun das tue was du in deinem letzten Beitrag gesagt hast komme ich auf : $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \int_{1+sin(\phi)}^{2+2sin(\phi)} \! r \, dr \, d\phi \end{eqnarray*}$ ist das richtig ? Ist die Jacobideterminante von Kartesich zu Polarform immer r ? Wie würde denn unser Integral aussehen wenn wir nach s Integrieren würden also nicht nach der Transformation ( dann müsste ich ja auch nicht die jacobideterminante beachten und hätte ein leichteren ausdruck )
21.12.2017, 15:56	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, 1. das ist richtig! 2. Ja, die Jacobideterminante bei Integration in 2-dimensionalen Polarkoordinaten ist immer r. 3. Oha, da müsste ich mal überlegen. Integration nach s? Also $\begin{eqnarray} G(s,\varphi) := s(1+\sin(\varphi) \begin{pmatrix} \cos(\varphi) \\ \sin(\varphi) \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Dann wird $\begin{eqnarray} J_G(s,\varphi) := \begin{pmatrix} (1+\sin(\varphi)) \cos(\varphi) & -s\sin(\varphi) + s\cos(2\varphi) \\ (1+\sin(\varphi)) \sin(\varphi) & s\cos(\varphi) + s\cos(2\varphi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , falls ich mich nicht verrechnet habe. Du kannst nun davon die Determinante berechnen und das ganze Zeugs in die Transformationsformel einsetzen, damit würdest du das Integral auch rauskriegen. Ich finde es aber einfacher, das "vorgefertigte" Rezept der Polarkoordinatentransformation zu verwenden, als sich eigene Transformationen auszudenken. Wäre aber vielleicht mal nicht schlecht, damit man etwas Übung darin bekommt - auch abzuschätzen, welche Determinanten sich nachher gut "wegintegrieren" lassen und welche ernstlich stören und Sand ins Getriebe streuen könnten. LG sibelius84
21.12.2017, 16:57	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich interessant an. Also wenn wir eine andere Transformation haben müssen wir immer die Determinante der Jacobi Matrix berechnen wegen eines "verzerrten" Koordinatensystems. Der lokale Verzerrungfaktor ist der Absolutbetrag der Jacobi-Determinante. Deshalb hast du auch so Subs. das unsere Transformation in Polarform steht. Bei der Berechnung des Integrals habe ich nun 2pi r raus. stimmt das ?
21.12.2017, 17:02	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie ich das sehe, wäre das zu berechnende Integral $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi} \frac 1 2 r^2\Big\vert_{r=1+\sin(\phi)}^{r=2+2\sin(\phi)} \; d\phi \end{eqnarray}$ und ich glaube, da kommt etwas anderes raus. Im Zweifel hilft wolframalpha für die Ergebniskontrolle
21.12.2017, 21:25	Mesut95	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe jetzt 9pi/2 raus ich hoffe das stimmt jetzt
22.12.2017, 13:04	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht plausibel aus. Beim Vergleich mit der Skizze durchaus interessant, dass das mehr ist als 4pi, der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius 2, oder? Aber naja gut, der waagerechte Durchmesser bei y=2 ist ja auch um einiges größer als 4, und die Fläche ragt bis unter die x-Achse, also kann das durchaus hinkommen.

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