Menge der Stufenindizes einer Matrix in Zeilenstufenform unabhängig vom Transformationsprozess

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Eco27 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der Stufenindizes einer Matrix in Zeilenstufenform unabhängig vom Transformationsprozess
Meine Frage:
Siehe Aufgabe.

Meine Ideen:
Hallo zusammen,

Also ich denke , dass man dies evtl. mit vollständiger Induktion zeigen könnte:
IA:
Man fängt mit einer mx1 Matrix an und stellt fest:
(i) Entweder es ist eine Nullmatrix => stufenindex ist leere Menge.
(ii) Stufenindex ist j=1, denn durch subtrahieren der Zeilen, lassen sich alle Einträge bis auf einen löschen, da dann nämlich nur Nullen in den anderen Einträgen "übrig sind" und man mit diesen den letzten Eintrag nicht löschen kann.

IS. Nun sei die die Aussage für erfüllt und wir wollen zeigen, dass es auch für eine Matrix erfüllt ist. Jede Matrix kann man schreiben als



So und nun bin ich mir nicht sicher, was ich tun soll. Ich muss irgendwie argumentieren, dass der letzte Spaltenvektor sich auf eine bestimmte Weise verändert, unabhängig vom Transformationsprozess. Ich stehe allerdings auf dem Schlauch, wie das gehen soll. Jmd ne Idee bzw einen Alternativvorschlag?

Danke im Vorraus
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Eco27,

ein paar Gedanken dazu:

-> Wenn A', A'' beide durch endlich viele Zeilenumformungen aus A hervorgehen, dann heißt das insbesondere, dass A' und A'' durch endlich viele Zeilenumformungen auseinander hervorgehen (da man ja jede Zeilenumformung invertieren kann).

-> Hattet ihr den Rang einer Matrix schon, und dass der unter elementaren Zeilenumformungen invariant bleibt? Dann könntest du aus der Annahme, dass A' und A'' unterschiedlich viele Stufenindices haben, den Widerspruch folgern, dass sie unterschiedliche Ränge haben. (Ist evtl. etwas 'zu einfach', da Rang = Anzahl Stufenindices)

Wenn ich mir deinen Induktionsbeweisanfang so anschaue, dann müsste es wohl in etwa so weitergehen:

Wir wenden auf A^+ jeweils die selben elementaren Zeilenumformungen an wie auf A, die zu A' bzw. A'' führen. Dies liefert uns zwei Matrizen



und

.

Zu zeigen ist nun:

Da könnte ich jetzt konkret aber auch nichts aus dem Ärmel schütteln, wie es dann weitergehen könnte.

LG
sibelius84

(edits: LaTeX-Korrektur)
 
 
Eco27 Auf diesen Beitrag antworten »

Bezugnehmend auf deine zu Anfang gestellten Ansätze: Wenn ich mich nicht irre besteht die Aufgabe ja nicht darin zu zeigen, dass die Anzahl der Stufenindices gleich ist, sondern, dass diese an der selben Stelle sind. Oder?

Gruß
Eco27
Eco27 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok folgende Idee. Für den neuen Vektor v, der an die Matrix angekoppelt wird gilt ja entweder:
(i) v ist linear kombinierbar durch die anderen spaltenvektoren
(ii) v ist linear nicht kombinierbar ...

wenn i gilt, dann kann die Spalte n+1 Keinen Zeilenstufenindize darstellen. Denn sonst wäre die n+1 erste Spalte unabhängig von den andern => => Widerspruch zur Annahme (i)

Wenn (ii) gilt dann bedarf es eines neuen Zeilenstufenindize, da sonst => Widerspruch zur Annahme (ii). Da A' bzw A'' per IA keinen neuen Indize beinhalten können muss dieser bei v liegen.

Macht das Sinn? scheint mir etwas zu trivial. Aber vllt war ich gestern auch zu müde.

Gruß
Eco27
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Klingt interessant, aber wie ist es mit dem Rang? Dürft ihr den so schon benutzen? (Wie gesagt, ich meine, wenn, wäre es schön; aber es kann auch sein, dass die Aufgabe der Vorbereitung der Einführung des Ranges dient.)

Die Idee mit der Linearkombinierbarkeit könnte man weiterverfolgen:

Sei A (bzw A^+) eine Matrix, in der die letzte Spalte aus den vorherigen linearkombinierbar ist. Wenn  aus A durch Anwendung von Zeilentauschen und Multiplikation einzelner Zeilen mit Zahlen besteht, dann überlegt man sich schnell, dass dies nichts an der Linearkombinierbarkeit ändert. Bei Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile muss man evtl. etwas mehr nachdenken bzw. arbeiten, warum dann immer noch die letzte Spalte aus den vorherigen linearkombinierbar ist, kriegt man aber auch hin.
Also, entweder die hintere Spalte ist an allen drei Fällen A^+, A'^+, A''^+ aus den vorherigen linearkombinierbar oder eben in allen drei Fällen nicht, und die Behauptung folgt.
Eco27 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann schreibe ich mir das mal gleich sauber auf.Danke dir . Rang und die Invarianz der Ranges ggb. Elementarabbildungen wurden bereits behandelt. Darf es also benutzen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit ist der Beweis doch dann ein Einzeiler, weil A' und A'' den selben Rang haben müssen. Ich wäre aber vorsichtig, evtl. könnte es sich um einen nachgeholten Beweis aus der Vorlesung handeln, nach dem Motto "Beweis: ÜA"? Das mit der Linearkombinierbarkeit sieht mir jedenfalls gut aus.
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