Erzeugendensystem von Bild

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jpl00 Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem von Bild
Hallo zusammen,

kann mir jemand einen Ansatz für diese Aufgabe geben?

Es seien V und W K-Vektorräume und eine lineare Abbildung. Weiter sei .

Zeige: Wenn X ein Erzeugendensystem V ist, dann ist ein Erzeugendensystem von .


Danke im Voraus.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Erzeugendensystem von Bild
Ein Ansatz, der eigentlich auf der Hand liegt:
Sei . Dann gibt es ein v aus V mit . smile
 
 
jpl00 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier ist was ich jetzt habe:

Sei so existiert ein mit .

Da X ein Erzeugendensystem von V ist, existieren und . Weil . Also ist jedes Element mit w beliebig eine endliche Linearkombination von Vektoren in daher ist ein Erzeugendensystem von .
jpl00 Auf diesen Beitrag antworten »

Was denkt ihr über meinen Beweis anderer Aufgabe (Teilaufgabe von da oben)?

Zeige: Ist linear unabhängig, so ist X linear unabhängig.

Sei und linear unabhängig, dann ist

Sei also . Wegen linear unabhängig ist , entsprechend ist linear unabhängig.
jpl00 Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre schön, wenn jemand meine Beweise kritisieren könnte smile .
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Im großen und ganzen passen die Beweise, aber an die formale Darstellung muß noch etwas Feinschliff:

Sei so existiert ein mit .

Da X = (X_1, ..., X_m) ein Erzeugendensystem von V ist, existieren mit . Weil und linear ist, gilt auch . Also ist jedes Element eine Linearkombination von Vektoren aus . Somit ist ein Erzeugendensystem von .

Zitat:
Original von jpl00
Sei und linear unabhängig, dann ist

Sei also . Wegen linear unabhängig ist , entsprechend ist linear unabhängig.

Besser so:
Sei und linear unabhängig. Dann gilt:

Somit folgt:

Der Rest paßt dann.
jpl00 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!! smile smile
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