Erzeugendensystem von Bild

20.12.2017, 00:23

jpl00

Erzeugendensystem von Bild

Hallo zusammen,

kann mir jemand einen Ansatz für diese Aufgabe geben?

Es seien V und W K-Vektorräume und $\begin{eqnarray*} \phi: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung. Weiter sei $\begin{eqnarray*} X \in V^m \end{eqnarray*}$ .

Zeige: Wenn X ein Erzeugendensystem V ist, dann ist $\begin{eqnarray*} (\phi(X_1),...,\phi(X_m)) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ .

Danke im Voraus.

20.12.2017, 08:45

klarsoweit

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RE: Erzeugendensystem von Bild
Ein Ansatz, der eigentlich auf der Hand liegt:
Sei $\begin{eqnarray*} w \in Im(\phi) \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein v aus V mit $\begin{eqnarray*} w = \phi(v) \end{eqnarray*}$ . smile

21.12.2017, 20:42

jpl00

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Hier ist was ich jetzt habe:

Sei $\begin{eqnarray*} w \in Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ so existiert ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(v) = w \end{eqnarray*}$ .

Da X ein Erzeugendensystem von V ist, existieren $\begin{eqnarray*} (\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n) \in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2,...,x_n) \in X ~mit~ \sum\limits_{i=1}^{n} \lambda_ix_i \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} w = \phi(v) ~und~ \phi ~linear,~ gilt ~auch ~\sum\limits_{k=1}^{n} \lambda_i \phi(X) \end{eqnarray*}$ . Also ist jedes Element $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ mit w beliebig eine endliche Linearkombination von Vektoren in $\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ daher ist $\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ .

21.12.2017, 20:56

jpl00

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Was denkt ihr über meinen Beweis anderer Aufgabe (Teilaufgabe von da oben)?

Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} (\phi(X_1),...,\phi(X_m)) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, so ist X linear unabhängig.

Sei $\begin{eqnarray*} X \in V^m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(X_1), \phi(X_2),...,\phi(X_m) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, dann ist $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0) \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 = \phi(\sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i \phi(x_i) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \phi(X_1), \phi(X_2),...,\phi(X_m) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , entsprechend ist $\begin{eqnarray*} (X_1,X_2,...X_m) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

21.12.2017, 22:21

jpl00

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Es wäre schön, wenn jemand meine Beweise kritisieren könnte smile

22.12.2017, 09:18

klarsoweit

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Im großen und ganzen passen die Beweise, aber an die formale Darstellung muß noch etwas Feinschliff:

Sei $\begin{eqnarray*} w \in Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ so existiert ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(v) = w \end{eqnarray*}$ .

Da X = (X_1, ..., X_m) ein Erzeugendensystem von V ist, existieren $\begin{eqnarray*} (\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_m) \in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v = \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i X_i \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} w = \phi(v) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ linear ist, gilt auch $\begin{eqnarray*} w = \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \phi(X_i) \end{eqnarray*}$ . Also ist jedes Element $\begin{eqnarray*} w \in Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ eine Linearkombination von Vektoren aus $\begin{eqnarray*} \phi(X) = (\phi(X_1), ..., \phi(X_m)) \end{eqnarray*}$ . Somit ist $\begin{eqnarray*} \phi(X) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} Bild(\phi) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von jpl00
Sei $\begin{eqnarray*} X \in V^m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(X_1), \phi(X_2),...,\phi(X_m) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, dann ist $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0) \end{eqnarray*}$

Sei also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 0 = \phi(\sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i x_i) = \sum\limits_{i=1}^{m} \lambda_i \phi(x_i) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \phi(X_1), \phi(X_2),...,\phi(X_m) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig ist $\begin{eqnarray*} (\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n) = 0 \end{eqnarray*}$ , entsprechend ist $\begin{eqnarray*} (X_1,X_2,...X_m) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Besser so:
Sei $\begin{eqnarray*} X \in V^m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(X_1), \phi(X_2),...,\phi(X_m) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \phi(X_i) = 0 \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = ... = 0 \end{eqnarray*}$

Somit folgt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i X_i = 0 \Rightarrow 0 = \phi(0) = \phi \left( \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i X_i \right) = \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \phi(X_i) \end{eqnarray*}$

Der Rest paßt dann.

22.12.2017, 13:44

jpl00

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Vielen Dank!! smile

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Erzeugendensystem von Bild

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