DGL mit Laplace

20.12.2017, 09:23

Akku31

DGL mit Laplace

Hallo alle zusammen ,meine Ansätze sehen so aus:

s^2*Y(s) -s*Y(s)-2 = e^{-2t}

$\begin{eqnarray*} s^2*Y(s) -s*Y(s)-2 = \frac{1}{(s+2)} \end{eqnarray*}$

Soweit richtig ?

20.12.2017, 09:41

klarsoweit

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RE: DGL mit Laplace
Hm. Ich bin jetzt nicht mit dem Ansatz vertraut (ist vielleicht auch schon etwas her). Meine Idee wäre gewesen, zuerst die homogene Dgl zu lösen.

20.12.2017, 10:52

grosserloewe

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RE: DGL mit Laplace
Wink

ich habe etwas anderes erhalten , außerdem fehlt das a ja in der Lösung.

$\begin{eqnarray*} -a +s^2 Y(s) -s Y(s) -2 Y(s) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{s+2} \end{eqnarray*}$

20.12.2017, 14:16

Akku31

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Wie bist du genau darauf gekommen?
Woher kommt das a)?

20.12.2017, 14:24

grosserloewe

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Ersetze:

$\begin{eqnarray*} y= Y(s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'= -y(0) +s Y(s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y '' = -s y(0) -y'(0) +s^2 Y(s) \end{eqnarray*}$

20.12.2017, 22:16

Akku31

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Habe diese Übertragungsfunktion raus bekommen:

Y= $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{(s+2)}+a }{(s^2-s-2)} \end{eqnarray*}$

PBZ:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+a*(s+2)}{(s+2)*(s-2)*(s+1)} = \frac{A}{(s+2)} +\frac{B}{(s-2)} +\frac{C}{(s+1)} \end{eqnarray*}$

Die komplette Rechnung poste ich jetzt nicht Big Laugh

Meine Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4*(s+2)} +\frac{a/3 + 1/12}{(s-2)} +\frac{-1/3. - a/3}{(s+1)} \end{eqnarray*}$

Wie transformiere ich das ?

Tipps?

20.12.2017, 23:44

sibelius84

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Hallo Akku31,

da die anderen vermutlich gerade nicht da sind:

Auf dem Hinweg hatte sich doch e^(-2t) transformiert zu 1/(s+2). Also muss der Teil zurücktransformiert ja wohl schon mal $\begin{eqnarray*} \frac 1 4 e^{-2t} \end{eqnarray*}$ ergeben. Augenzwinkern

Dann ist es auch nicht mehr schwer zu erraten, wie sich die restlichen Brüche zurücktransformieren lassen. Im Zweifelsfall gibt es ja bei Laplace immer Tabellen, in denen man nachschauen kann.

LG
sibelius84

PS:

Zitat:

Original von Akku31
PBZ:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+a*(s+2)}{(s+2)*(s-2)*(s+1)} = \frac{A}{(s+2)} +\frac{B}{(s-2)} +\frac{C}{(s+1)} \end{eqnarray*}$

Die komplette Rechnung poste ich jetzt nicht Big Laugh

Kann man relativ einfach halten, indem man mit dem Hauptnenner durchmultipliziert und dann $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \alpha}\text{ für }\alpha\in\{2,-2,-1\} \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten betrachtet. Man muss noch nicht mal ausmultiplizieren, beim Einsetzen werden ja dann noch genug Teile 0.

21.12.2017, 22:28

Akku33

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Y(t) = $\begin{eqnarray*} \frac{a}{3}*e^{2t}+ \frac{1}{12}*e^{2t} <br /> - \frac{1}{3}*e^{-t} -\frac{a}{3}*e^{-2t} \end{eqnarray*}$

Passen die restlichen Terme ?

22.12.2017, 13:19

sibelius84

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Ich hab's nicht durchgerechnet, aber:
Wenn du t=0 in y-Punkt einsetzt, kommt nach meiner Rechnung heraus: (1/2) + (4a/3). Herauskommen sollte aber a. Also muss irgendwo noch ein Rechenfehler liegen.

Analog: t=0 in y liefert -1/4 und nicht 0.

22.12.2017, 14:25

Akku33

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Mist ich komme allerdings auch nicht auf den Fehler ? Big Laugh

22.12.2017, 14:41

grosserloewe

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Hallo,

ich habe erhalten:

$\begin{eqnarray*} y(t)= \frac{e^{2t} }{12} +\frac{a}{3} *e^{2t} - \frac{e^{-t} }{3} - \frac{a *e^{-t} }{3} +\frac{e^{-2t} }{4} \end{eqnarray*}$

Wenn ich den Wert einsetze , bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} a= -1 \end{eqnarray*}$

22.12.2017, 15:22

Akku33

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Wenn ich t= 0 einsetze kommt -1 raus.

Was mache ich jetzt noch genau als nächstes ?

22.12.2017, 16:15

grosserloewe

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Ich habe den Wert laut Aufgabe in die Lösung einsetzt:

-> $\begin{eqnarray*} \frac{- sin h(2)}{2} \end{eqnarray*}$ = rechte Seite meiner Lösung und dort für t=1 einsetzen. Dann a ausrechnen.

22.12.2017, 22:04

Akku33

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Damit bin ich dann ja eigentlich auch fertig Leute ? Big Laugh

22.12.2017, 22:15

grosserloewe

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so ist es, Dein "Akku" ist dann wohl alle.

Big Laugh

23.12.2017, 16:32

Akku33

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Ach mein Akku ist doch schon lange alle