Ungleichungen beweisen

20.12.2017, 20:34	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichungen beweisen Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(a_n \right)_{n \in \mathbb{N}},\left(b_n \right)_{n \in \mathbb{N}} \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ Folgen mit $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \|a_n\|^2 < \infty ,\sum\limits_{n=1}^{\infty } \|b_n\|^2 < \infty \end{eqnarray}$ . (a) Beweisen Sie die Ungleichung für alle $\begin{eqnarray} \gamma > 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \|ab\|\leq \frac{\gamma }{2} a^2 + \frac{1}{2 \gamma } b^2 \end{eqnarray}$ (b)Zeigen Sie, dass die Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n \end{eqnarray}$ konvergiert und beweisen Sie weiter die Ungleichung: $\begin{eqnarray} \| \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n b_n \| \leq \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \|a_n\|^2} \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \|b_n\|^2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dass die Reihe konvergiert habe ich so gezeigt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty } a_n b_n \leq \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \|a_n\|^2} \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} \|b_n\|^2} \leq \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} (\|b_n\|\|a_n\|)^2} \leq \sqrt{\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_na_n)^2}\leq \sqrt{(\sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_na_n))^2}\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} (b_na_n)\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n^2a_n^2 < \infty \end{eqnarray*}$ Aber als Beweis für die Ungleichungen fällt mir leider nichts ein. Hat da vieleicht jemand einen Ansatz, mit dem es klappen könnte?
20.12.2017, 20:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen Beweisen Deine Konvergenzbeweis verstehe ich überhaupt nicht. Aber das war ja nicht die Frage Die rechte Seite der Ungleichung kann man als Funktion von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ auffassen und sich das Minimum anschauen. Oder man benutzt einfach eine binomische Formel.
20.12.2017, 21:21	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichungen Beweisen Zur Konvergenz (Verbesserungen sind natürlich gerne gesehen): Die erste Abschätzung ist zu Beweisen. Die danach habe ich gemacht, um zu zeigen, dass es kleiner als das Produkt der Folgen in der Angabe sind, welche konvergieren, weshalb deren Produkt auch konvergiert. Und wenn ich zeige, dass meine Reihe kleine als eine andere konvergente Reihe ist, muss sie doch auch konvergieren, oder? zu (a): Da ich nicht weis, was man alles mit Betragsstrichen machen darf, habe ich einfach mal eine Fallunterscheidung gemacht: 1. ab >0: Dann kann ich die Betragsstriche auch weglassen und habe dann: $\begin{eqnarray} ab \leq \frac{\gamma }{2} a^2 + \frac{1}{2\gamma }b^2 \Leftrightarrow 0 \leq \frac{\gamma }{2} a^2 - ab + \frac{1}{2\gamma }b^2 \Leftrightarrow 0 \leq \frac{\gamma }{2} a^2 - 2ab\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2} }\frac{\sqrt{\gamma } }{\sqrt{\gamma } } + \frac{1}{2\gamma }b^2 \Leftrightarrow 0 \leq \left(\sqrt{\frac{\gamma }{2} }a-\frac{b}{\sqrt{2\gamma } } \right) ^2 \end{eqnarray}$ 2. ab <0: Dann erstze ich \|ab\| durch -ab und habe dann: $\begin{eqnarray} ab \leq \frac{\gamma }{2} a^2 + \frac{1}{2\gamma }b^2 \Leftrightarrow 0 \leq \frac{\gamma }{2} a^2 + ab + \frac{1}{2\gamma }b^2 \Leftrightarrow 0 \leq \frac{\gamma }{2} a^2 + 2ab\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2} }\frac{\sqrt{\gamma } }{\sqrt{\gamma } } + \frac{1}{2\gamma }b^2 \Leftrightarrow 0 \leq \left(\sqrt{\frac{\gamma }{2} }a+\frac{b}{\sqrt{2\gamma } } \right) ^2 \end{eqnarray}$ Stimmt das so?
21.12.2017, 00:04	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Croomer, das, was du zur (a) gemacht hast, sieht perfekt aus, wobei du die Fallunterscheidung eigentlich nicht brauchst, sondern einfach mit \|a\|, \|b\| rechnen kannst, die ja nicht negativ sind. Was zum Teufel hast du da aber bei der Abschätzung versucht? Der Ausdruck, den du im ersten Schritt anfängst abzuschätzen, taucht nach fünf Schritten wieder identisch so auf Wenn du beim Beweis der ersten Behauptung den zweiten Teil schon verwenden willst, dann bist du sogar nach einem Schritt fertig, weil da das Produkt zweier endlicher Zahlen steht, das selbst auch wieder eine endliche Zahl ist. Dann hast du nur den zweiten noch am Hals. Ich würde also lieber versuchen, beide Teile der Behauptung gleichzeitig aus der bereits korrekt bewiesenen Behauptung mit gamma=1, sowie der Dreiecksungleichung zu beweisen (evtl. auf beiden Seiten erst mit Summen mit k von 1 bis n anfangen, dann rechnen, umformen und später den Limes n gegen Unendlich laufen lassen). LG sibelius84
21.12.2017, 00:39	Croomer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie konnte mir nicht auffallen, dass das Unfug ist? Ich habe das bei der (b) jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray} a^2 := \sum\limits_{k=1}^{\infty} \|a_n\|^2 ; b^2 := \sum\limits_{k=1}^{\infty} \|b_n\|^2 ; a^2,b^2 \in \left[ 0,\infty \right) \end{eqnarray}$ Zur Konvergenz: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_nb_n \leq<br /> \|\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_nb_n \| \leq \frac{\gamma }{2} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \|a_n\|^2 + \frac{1}{2\gamma } \sum\limits_{k=1}^{\infty} \|b_n\|^2 \leq \frac{\gamma }{2}a^2 + \frac{1}{2\gamma }b^2 =:k \end{eqnarray}$ k ist größer als die Reihe und die Reihe somit konvergent. Zur Ungleichheit: Setze $\begin{eqnarray} <br /> \gamma = \frac{b}{a} \end{eqnarray}$ , dann gilt: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_nb_n \leq \frac{\gamma }{2}a^2 + \frac{1}{2\gamma }b^2 \leq \frac{ba}{2} + \frac{ab}{2} \leq ab \leq \sqrt{a^2} \sqrt{b^2} \leq \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty} \|a_n\|^2} \sqrt{\sum\limits_{k=1}^{\infty} \|b_n\|^2} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, das ist nicht wieder so ein Humbug wie davor... Edit: Mir ist gerade aufgefallen, dass die Folgen $\begin{eqnarray} a_n,b_n \in \mathbb{C} \end{eqnarray}$ sein sollen. Aber das sollte eigentlich nicht ändern, oder?
21.12.2017, 15:59	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht beim schnellen Drüberschauen ganz gut aus, jedenfalls besser als vorher Mit der Notation a^2 für die Summe der Quadrate würde ich aufpassen. Da verhaut man sich schnell, denn die Summe der Quadrate ist ja nicht dasselbe wie das Quadrat der Summe. Scheint hier aber gutgegangen zu sein.
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