Lösbarkeit LGS

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Ingenieur20 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösbarkeit LGS
Meine Frage:
Sei A eine nxn-Matrix mit Rang(A)=n-1
Sei .
Man zeige: Das LGS
ist genau dann eindeutig lösbar, falls
.

Meine Ideen:
Ich habe versucht Aussagen zum Rang der (vergrößerten) Matrix zu treffen, und bezüglich der erweiterten Koeffizienten-Matrix. Bin aber leider nicht weit gekommen
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

kann es sein, dass du die Voraussetzung vergessen hast? Ansonsten ist Eindeutigkeit im Fall von m.E. nicht gegeben.

Ansonsten kannst du dir mal überlegen, dass im Fall bereits gelten muss. Das führt dann dazu, dass das LGS




eindeutig lösbar sein muss. Wie sehen denn die Lösungen der ersten Gleichung aus, lassen die sich parametrisieren?
 
 
Ingenieur20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, da hast du Recht!
Ingenieur20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, weil Ax - cv = b
im Bild von A sein muss folgt also nach
Umformen c = 0

Da b im Bild von A ist und der Kern eindimensional
ist, gibt es ein x mit Ax = b

Schreibe x = y + z
mit y im Kern A und z im Bild von A^H (orthogonale Zerlegung aus
unserem Skript)
Dann muss y ein Vielfaches von x sein
(weil Kern A eindimensional).
Damit auch z und somit ist x im Bild von A^H
also < w , x > = 0
(Komplexes Skalarprodukt).
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Argumentatation für die Eindeutigkeit von der Eindeutigkeit von nicht ganz, das fängt dabei an, dass ich nicht weiß, warum y ein Vielfaches von sein soll.

Ich würde vielleicht so beginnen:

Sei so, dass . Dann sind alle Lösungen von gegeben durch mit beliebigem .

Zeige jetzt, dass dieses eindeutig sein muss, um die zweite Bedingung zu erfüllen.
Ingenieur20 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn für zwei x,y
Ax = Ay = b =: Aw
ist (x-y) im Kern von A, der ja eindimensional ist, also
kann w nicht von y linear unabhängig sein.
Daher Eindeutigkeit weil falls y = ax dann ja Ay = a(Ax)
nur möglich falls a = 1 also x = y
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach deiner Argumentation kann x-y nicht von w unabhängig sein, nicht y selbst.
Ingenieur20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt das war Quatsch.
An der zweiten Gleichung scheitert es dann aber ja (außer wenn w = 0)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte dir ja einen Ansatz gegeben.

Meinst du wirklich, dass für kein einziges gelten kann, dass ?
Vereinfache das doch mal.
Ingenieur20 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte das andere w.
Egal, mit deinem Ansatz hab ich es inzwischen gelöst.
Danke smile
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