Lösbarkeit LGS

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23.12.2017, 08:13	Ingenieur20	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösbarkeit LGS Meine Frage: Sei A eine nxn-Matrix mit Rang(A)=n-1 Sei $\begin{eqnarray} w \in Ker(A) , b \in Im(A) \end{eqnarray}$ . Man zeige: Das LGS $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} A & v \\ w^H & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ c \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist genau dann eindeutig lösbar, falls $\begin{eqnarray} v \notin Im(A) \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Ich habe versucht Aussagen zum Rang der (vergrößerten) Matrix zu treffen, und bezüglich der erweiterten Koeffizienten-Matrix. Bin aber leider nicht weit gekommen
24.12.2017, 01:11	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, kann es sein, dass du die Voraussetzung $\begin{eqnarray} w\neq 0 \end{eqnarray}$ vergessen hast? Ansonsten ist Eindeutigkeit im Fall von $\begin{eqnarray} v\notin\operatorname{Im}(A) \end{eqnarray}$ m.E. nicht gegeben. Ansonsten kannst du dir mal überlegen, dass im Fall $\begin{eqnarray} v\notin\operatorname{Im}(A) \end{eqnarray}$ bereits $\begin{eqnarray} c=0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Das führt dann dazu, dass das LGS $\begin{eqnarray} Ax = b \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w^Hx = 0 \end{eqnarray}$ eindeutig lösbar sein muss. Wie sehen denn die Lösungen der ersten Gleichung aus, lassen die sich parametrisieren?
24.12.2017, 01:21	Ingenieur20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da hast du Recht!
24.12.2017, 07:21	Ingenieur20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, weil Ax - cv = b im Bild von A sein muss folgt also nach Umformen c = 0 Da b im Bild von A ist und der Kern eindimensional ist, gibt es ein x mit Ax = b Schreibe x = y + z mit y im Kern A und z im Bild von A^H (orthogonale Zerlegung aus unserem Skript) Dann muss y ein Vielfaches von x sein (weil Kern A eindimensional). Damit auch z und somit ist x im Bild von A^H also < w , x > = 0 (Komplexes Skalarprodukt).
24.12.2017, 13:59	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe die Argumentatation für die Eindeutigkeit von der Eindeutigkeit von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht ganz, das fängt dabei an, dass ich nicht weiß, warum y ein Vielfaches von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sein soll. Ich würde vielleicht so beginnen: Sei $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} Ay = b \end{eqnarray}$ . Dann sind alle Lösungen von $\begin{eqnarray} Ax= b \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} x = y+\lambda w \end{eqnarray}$ mit beliebigem $\begin{eqnarray} \lambda\in\mathbb C \end{eqnarray}$ . Zeige jetzt, dass dieses $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eindeutig sein muss, um die zweite Bedingung zu erfüllen.
24.12.2017, 14:56	Ingenieur20	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn für zwei x,y Ax = Ay = b =: Aw ist (x-y) im Kern von A, der ja eindimensional ist, also kann w nicht von y linear unabhängig sein. Daher Eindeutigkeit weil falls y = ax dann ja Ay = a(Ax) nur möglich falls a = 1 also x = y
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24.12.2017, 16:28	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach deiner Argumentation kann x-y nicht von w unabhängig sein, nicht y selbst.
25.12.2017, 16:13	Ingenieur20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt das war Quatsch. An der zweiten Gleichung scheitert es dann aber ja (außer wenn w = 0)
25.12.2017, 21:00	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte dir ja einen Ansatz gegeben. Meinst du wirklich, dass für kein einziges $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gelten kann, dass $\begin{eqnarray} w^H(y+\lambda w) = 0 \end{eqnarray}$ ? Vereinfache das doch mal.
26.12.2017, 07:11	Ingenieur20	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte das andere w. Egal, mit deinem Ansatz hab ich es inzwischen gelöst. Danke

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