Aufgaben zu Logarithmen

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Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Logarithmen
Hallo,

ich brauche bitte Hilfe zu 4 Aufgaben zu Logarithmen. Die ersten drei habe ich einigermaßen fertig, da bräuchte ich bitte eine Kontrolle, ob alles richtig ist. Und beim letzten Beispiel hab ich paar Punkte gemacht, bei den anderen Punkte bräuchte ich Hilfe.
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Hier noch meine Lösungsvorschläge:
 
 
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Jator,

bei der 4.2.7 hast du glaube ich einen ganzen Summanden aus der Aufgabenstellung vergessen, und dich vermutlich beim Kürzen des Bruches etwas verhauen. Ich glaube, insgesamt kommt da 0 raus.

Bei der 4.30 sind die ersten zwei Zeilen richtig, wenn du die Zahl auf der linken Seite noch in einen Logarithmus einklammerst. Der Antwortsatz trifft aber nicht ganz die Aufgabe. Denn die bestand ja darin, anzugeben, welche der beiden Zahlen die größere ist.
Ob das so in den Taschenrechner getippt die verlangte Lösung der Aufgabe ist, weiß ich nicht. Evtl. gibt's da irgendein "analytisches" Vorgehen, mit Hilfe der Logarithmen? Habe mal etwas darüber nachgedacht und ist gar nicht so einfach, wie man vielleicht denken mag.

Bei der 4.33 war ja eine Aussage zu verlangt. In deinem Beweis zeigst du eine Aussage zu . Da müsstest du noch den Zusammenhang zur eigentlichen Aufgabe herstellen.

Bei der 4.34 ist das Gleichheitszeichen in Schritt 2 falsch. Die Zeichnung von wolframalpha würde ich mal mit dem von dir korrekt berechneten Definitionsbereich abgleichen.

LG
sibelius84

PS/edit:
Für die Monotonie musst du einfach aufschreiben, in welchen Bereichen die Funktion steigend, und in welchen fallend ist. Asymptoten gibt es meistens senkrechte bei den Definitionslücken, und manchmal waagerechte, wenn man bzw. bestimmt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 4.30:

Beide Zahlen in Exponentialform sind:

Der Größenvergleich kann nun an Stelle der Zahlen mit deren Logarithmen (bezüglich einer gleichen, festen Basis größer als 1) durchgeführt werden.

Der Grund ist, dass - für positive Zahlen und Basen größer als 1 - beide Funktionen, also sowohl die Exponential- als auch die Logarithmusfunktion, streng monoton steigend sind.

Daher beschreibt die Antwort von Jator08 so nicht den zu Grunde liegenden Sachverhalt.

Beispiel:



Grün: Exponentialfunktion
Rot: Logarithmusfunktion als deren Umkehrung
Basis bei beiden: 1,15

Dass die Krümmung bei beiden Graphen verschieden ist, soll nicht täuschen. Beide Funktionen sind im betreffenden Bereich streng monoton wachsend.

mY+
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

"Rein analytisch" ginge es zB so: Betrachte

.

Von dem Klammerausdruck kann man zeigen, dass er für alle n kleiner als 3 bleibt. Also ist der Quotient für alle n >= 3 kleiner als 1, sodass insbesondere folgt, dass .

Schon interessant, wie da bei dieser "reinen Potenzrechnung" plötzlich der Ausdruck auftaucht, der gegen e konvergiert. Bildet man den Quotienten und multipliziert ihn noch mit n=2015, so erhält man

.
Creekreal Auf diesen Beitrag antworten »

@Sibelius

Zu 4.27)
Dieser Summand kommt erst später dazu. Zu dieser Aufgabe gibts auch ein Ergebnis aus dem Skript, das ist halt schon

@mythos

Zu 4.30)
Wie funktioniert das dann mit den Logarithmen? Ist das richtig so, wie ich das gemacht habe? Den Antwortsatz müsste ich dann halt ändern.

Zu 4.33 und 4.34 bin ich jetzt ein bisschen überfordert.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

@Creekreal: Du hast zwei Accounts...dein Einverständnis vorausgesetzt würde ich diesen Account löschen und dich bitten bei Jator08 zu verbleiben.
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

@Equester
Ah stimmt, ja dann den Creekreal Account bitte löschen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Creekreal
@Sibelius

Zu 4.27)
Dieser Summand kommt erst später dazu. Zu dieser Aufgabe gibts auch ein Ergebnis aus dem Skript, das ist halt schon


Dann gib mir mal eine mathematisch-begrifflich präzise Definition von 'später' Augenzwinkern Das wird nämlich nicht gehen, da wir hier keine Zeitvariable t und auch nichts Vergleichbares haben. Du musst immer den gesamten Term aus der Aufgabenstellung von Anfang an aufschreiben und darfst nicht 'später' etwas dazuholen. Ok, ln(y) ist aber richtig.

Zur 4.34 kann ich deine Überforderung nicht nachvollziehen. Ich hatte auf zwei formale Kleinigkeiten hingewiesen (was implizit bedeutet, dass der Rest der von dir bearbeiteten 4 von 6 Punkte ok ist). Kannst du zunächst vielleicht einfach mal anhand des plots von wolframalpha erraten / ersehen, wo Asymptoten sind, und ob die Funktion steigend oder fallend ist und in welchem Bereich?

Zur 4.33 - naja, da steht in der Aufgabe eben bzw. und das kommt in deinem Beweis nicht vor. Das ist noch ein Makel, den du beheben solltest. Wenn wir etwas bestimmtes über wissen, wie führt uns dies dazu, etwas über zu wissen? Hier ist noch eine Baustelle, an der du noch ein wenig knacken solltest, um einen vollständig richtigen Beweis zu haben.

LG
sibelius84
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Ich muss vielleicht noch dazu sagen, dass ich bei diesen 4 Aufgaben Hilfe von einer anderen Person erhalten habe. (Im Prinzip hat diese Person alles gemacht, ich hab es dann nur leserlich und geordnet auf einen Zettel geschrieben). Deshalb auch "überfordert"


Zu 4.27)
Okay, dann werd ich diesen Summand auch davor hinschreiben. Der kommt ja beim Lösungsvorschlag in der 4. Zeile dazu. Aber sonst ist der Rechenweg richtig, oder?

Zu 4.33)
Wie gesagt, das mit den ln hat die genannte Person gemacht. Wie funktioniert das dann mit log?

Zu 4.34)
Also die Graphik ansich ist aber ok? Weil da ja mit log statt ln geplotet wurde.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

In Kontinentaleuropa bedeutet meist dasselbe wie . In den USA bedeutet es meist dasselbe wie . (Für Risiken und Nebendefinitionen fragen Sie Ihren Prof oder Assistenten. Packungsbeilage gibts nicht, liest eh keiner.) Ist aber kein wesentlicher Unterschied. Auf den gängigen Taschenrechnern sind immer beide vorhanden.

4.27 - passt smile

4.33 - Möglichkeit 1, um auf dem alten Beweisweg weiterzumachen:
Wenn a, b > 0 sind, weißt du dann, wie du die Gleichung löst, wenn du auf dem Taschenrechner nur und zur Verfügung hast?

Und weißt du, wie definiert ist?

Möglichkeit 2: Sei a>0 beliebig, dann gilt die Äquivalenz . Dein x ist hier . Wenn du zeigen kannst, dass a^x=a gilt, hast du damit bereits gezeigt, dass x=1 gilt.

4.34 - ja, siehe oben, ist kein wesentlicher Unterschied.
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

4.33)

Also ersetze ich das ln dann einfach mit einem log? Kommt dann auch 1 als Ergebnis raus?
Möglichkeit 1: Nein

Wie gesagt, das ist mir alles etwas zu kompliziert, deshalb frage ich ja nach Hilfe.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann mal los:

(1) Für a, b > 0 hat die Exponentialgleichung genau eine reelle Lösung x, die man den Logarithmus von b zur Basis a, in Zeichen: nennt. Ein Logarithmus ist also "die Zahl, die im Exponenten gesucht wird". Insbesondere gilt per definitionem:

.

(2) Wenn man eine Exponentialgleichung der Form a^x=b numerisch (d.h. mit einer gerundeten Kommazahl als Ergebnis) lösen will und nur einen Taschenrechner mit lg und ln hat, geht man folgendermaßen vor (bei der zweiten Umformung verwendet man das dritte Logarithmen-Gesetz):









(Statt ln kann man eben auch lg nehmen, das ist im Prinzip egal.)

Mit den obigen Infos (1) und (2) kannst du dir die für 4.33 wichtige Frage, was denn nun mit zu tun haben, sicher selbst beantworten. Augenzwinkern
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 4.30 habe ich dir eine Erklärung gegeben, damit du deine Antwort richtig formulieren kannst!
Im Kontext dazu ist deine Rechnung richtig.

mY+
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

@sibelius
Okay, ich versuch es mal:
Also statt kann man auch schreiben?

Also könnte man dann mit weiterrechnen? Dann käme aber eine andere Lösung raus als 1.

Und bei deinem ersten Satz versteh ich aber das "Für a, b > 0" noch nicht, weil es wird ja "Für a, b > 1" gesucht?!


@mythos
Okay, neuer Antwortversuch:
Für positive Zahlen und Basen größer als 1 sind beide Funktionen, also sowohl die Exponential- als auch die Logarithmusfunktion, streng monoton steigend.
Aber irgendwie beantwortet das noch nicht die Frage, warum die eine Funktion schneller wächst als die andere.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jator08
Also könnte man dann mit weiterrechnen? Dann käme aber eine andere Lösung raus als 1.

Mir ist jetzt nicht klar, was du da sagen willst. sibelius hat dir doch gezeigt, daß ist. Analog kannst du mal hinschreiben, was bzw. das Produkt ist.
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso alles klar.
Dann hätte ich also einfach

=
und


in die erste Zeile schreiben müssen? Somit stimmt dann die weitere Rechnung in meinem zweiten Post, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, im Prinzip ja. Ich verstehe nur nicht, warum man nicht einfach solch eine Rechnung strikt durchzieht:

Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, aber was hat es mit dem „Für alle Basen a,b > 1“ aufsich?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ich verstehe nur nicht, warum man nicht einfach solch eine Rechnung strikt durchzieht:


Das habe ich mich auch schon oft gefragt. Ich glaube, es liegt daran, daß die Menschen - so sind wir eben - erst einmal an sich denken. Man hat die Aufgabe im Kopf, fragt sich, wie das gehen soll, und schreibt die Schritte, über die man lange nachgedacht hat, hin. Alles andere läßt man, als wäre es selbstverständlich, weg. Daß dadurch ein Fragment entsteht und keine durchgängig erzählte Geschichte mehr, ist den Leuten nicht bewußt oder egal. Sie denken eben an sich und nicht daran, daß auch der Empfänger das Ganze verstehen muß. Der soll sich dann aus den Satzfetzen wieder die ganze Geschichte zusammenreimen.

@ Jator08

Man kann die Begründung durchaus auf die Exponentialfunktion zurückspielen, ohne also den Logarithmus explizit ins Spiel zu bringen. Daß man im Hintergrund immer irgendeinen Logarithmus hat, weil man ja auf den Exponenten rekurriert, ist unbestritten.
Du hast umgeschrieben in . Jetzt mache das mit genauso: . Du hast damit zwei Gleichungen:



Ziel ist es zu zeigen, daß ist. Eliminiere in diesen beiden Gleichungen eine der beiden Größen , indem du zum Beispiel aus in einsetzt. Dann führt dich die Anwendung eines Potenzgesetzes und die Bijektivität der Exponentialfunktion zu einer Aussage über . Ich glaube, das meinte der finnische Komponist mit seinem Alternativvorschlag.

Offenbar werden hier nur Exponentialfunktionen mit Basen betrachtet. Die Einschränkung ist aber überflüssig, denn die Gleichung gilt auch für Basen kleiner als 1. Man müßte daher nur mit fordern.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jator08
...
@mythos
Okay, neuer Antwortversuch:
Für positive Zahlen und Basen größer als 1 sind beide Funktionen, also sowohl die Exponential- als auch die Logarithmusfunktion, streng monoton steigend.
Aber irgendwie beantwortet das noch nicht die Frage, warum die eine Funktion schneller wächst als die andere.

Wie schnell die Funktion wächst, tut hier nichts zur Sache, es kommt - hinsichtlich des Größenvergleichs - alleine auf das gleiche Monotonieverhalten an.
Der Größenvergleich kann deswegen an Stelle der Zahlen mit deren Logarithmen (bezüglich einer gleichen, festen Basis größer als 1 - hier ist sie e) durchgeführt werden.

mY+
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Du hast umgeschrieben in . Jetzt mache das mit genauso: . Du hast damit zwei Gleichungen:



Ziel ist es zu zeigen, daß ist. Eliminiere in diesen beiden Gleichungen eine der beiden Größen , indem du zum Beispiel aus in einsetzt. Dann führt dich die Anwendung eines Potenzgesetzes und die Bijektivität der Exponentialfunktion zu einer Aussage über . Ich glaube, das meinte der finnische Komponist mit seinem Alternativvorschlag.


So in etwa. Was ich meinte, war



.

Oder mit dem 3. Logarithmen-Gesetz

Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte es mit den Substitutionen (siehe meinen vorigen Beitrag) so gemacht: aus setze ich in ein:



Das ist natürlich dasselbe Vorgehen wie bei dir, spart aber einiges an Tipparbeit.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

...und ist didaktisch evtl etwas besser, weil es weniger kryptisch aussieht als meins. Augenzwinkern Dafür fallen bei mir Schlag auf Schlag die (mühsam getippten) Logarithmen wieder weg, was m.E. immer dafür sorgt, dass sich beim Rechnen ein gewisses Gefühl der Befriedigung einstellt - wenn sich alles so schön in Wohlgefallen auflöst... aber das ist natürlich alles subjektiv. Gut, dass es meistens mehrere Lösungswege gibt und man sich den aussuchen kann, den man am schönsten findet.
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke für die Antworten.
Ich fasse jetzt mal zusammen:

4.27)
Da werde ich den Summand, der bei mir im zweiten Post in der 4. Zeile dazukommt, auch schon ab der 1. Zeile dazu schreiben. Somit ist dann diese Aufgabe erledigt.

4.30)
Da ist die Rechnung mit den ln ja in Ordnung. Der Antwortsatz wird noch geändert, also dass die größere Zahl ist.

4.33)
Da hat ja klarsoweit geschrieben, dass ich davor noch
bzw.
schreiben muss. Der weitere Weg stimmt ja dann.
Oder ist der Alternativvoschlag auch notwendig?

4.34)
Da hat sibelius geschrieben, dass 4 von 6 Punkten richtig sind. Zu den anderen beiden Punkten hast du zwar auch was geschrieben, aber da kenn ich mich leider noch immer nicht aus. Also wie zeichne ich jetzt die Monotonie und Asymptoten ein?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

4.33
Alternativvorschlag ist nicht zwingend notwendig, könnte aber bei der Annäherung an die bislang ungeliebte Mathematik durchaus behilflich sein.

4.34
Ok - der Zustand des Nichtauskennens ist durchaus änderungswürdig Augenzwinkern Zur Monotonie hatte ich aber bereits gesagt, dass du nur schauen (und aufschreiben) musst, wo die Funktion steigend und wo fallend ist.
Außerdem: Schau mal, in welchem Bereich für x die Funktion von wolframalpha verläuft. Dann schaue mal, welchen Bereich für x deine Definitionsmenge umfasst und vergleiche diese beiden "x-Bereiche" miteinander. Was fällt dir auf? Sind sie identisch oder gibt es Unterschiede?
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

4.34)

Also monoton steigend ist ja die linke Seite (Also ab -7, wo es dann rauf geht. Und wenn sie wieder runtergeht ist sie monton fallend)
Also x = < 3, bei der Graphik schneidet sie ja die x-Achse bei +2. Ist ja dann richtig, oder?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Für x < 3 ist das richtig. Für x >= 3 würde ich mir überlegen, was dann für 3-x gilt. Kann man das in den Logarithmus einsetzen?
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Monotonie richtig?

ln(x) = -3 ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Monotonie ist für x<3 richtig. Aber versuche doch mal, Zahlen wie 3, 4, 5, ... in die Funktion einzusetzen. Bei 5 ergibt sich beispielsweise ln(3-5)=ln(-2). Fällt dir daran nicht etwas auf?
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt da eigentlich garnichts auf.

Vielleicht wärs wirklich leichter, wenn du mir einfach die Lösung schreibst.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Musterlösung würde dir bestenfalls kurz-, aber keinesfalls langfristig helfen.
Prinzip "Mathe online verstehen!"

Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert. Man darf keine negativen Zahlen oder 0 einsetzen. Also wenn man eine verknüpfte Funktion ln(f(x)) hat wie hier, dann muss man sich erstmal überlegen, für welche Zahlen x gilt, dass f(x)>0 ist. Für alle Zahlen x mit f(x)<=0 existiert der Logarithmus nicht. Dort gibt es dann keine Funktion und keinen Funktionsgraphen.
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann kann man -3 nicht in den Logarithmus einsetzen
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Also für all die Zahlen x, für die gilt, dass 3-x<0, ist deine Funktion nicht definiert. Für diese x existieren also keine Funktionswerte f(x), und in diesem Bereich gibt es auch keinen Graphen.
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sind wir aber noch immer nicht weitergekommen beim Lösungsvorschlag.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir? Du! Anstatt auf uns zu warten, sollten diese Vorschläge von dir kommen! Augenzwinkern
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Aufgabe ist doch das Monotonieverhalten gesucht, oder?
Also könnte man da dann nicht einfach bei der Graphik das dazu schreiben, welcher Bereich monoton steigend und monoton fallend ist? Also zuerst monoton steigend, dann monoton fallend. Dann ist doch dieser Punkt erledigt, oder etwa nicht?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, einfach nur so aus der Grafik alleine sicher nicht.
Die Grafik soll dich nur - als Anhaltspunkt - für die zu erledigenden Berechnungen unterstützen.
----------
Vor der Monotoniebetrachtung werden zuerst die anderen Unterpunkte, also die verlangten Schnittpunkte und vor allem der Definitionsbereich abgearbeitet.

Was also kannst du zum Definitionsbereich sagen?
Damit kennst du dann auch den Bereich, in dem überhaupt die Monotonie zu untersuchen ist.
Letztendlich ermittelst du die Asymptote.
Hinweis: Bilde dazu den linksseitigen Limes der Funktion an der Stelle 3, setze x = 3-h, dann geht h gegen Null

Hinweis zur Nullstelle: Aus ln(a) = 0 folgt a = 1
Hinweis zur Monotonie: Dazu ist das Vorzeichen der 1. Ableitung maßgebend.



mY+
Jator08 Auf diesen Beitrag antworten »

Definitionsbereich ist doch schon erledigt. Da wo es rauf geht, ist es doch monoton steigend?! So haben wir es zumindest mit monoton steigend/fallend gelernt.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Die verschiedenen Punkte einer Kurvendiskussion stehen ja nicht separat für sich, sondern haben miteinander zu tun. Wenn eine Funktion beispielsweise bei x=5 nicht definiert ist, dann kann sie dort weder steigend noch fallend noch sonstwas sein, weil es sie dort einfach nicht gibt. Wehe dem, der da dann einfach trotzdem was hinmalt - selbst wenn er Wolfram heißt. Augenzwinkern
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