Lineare Abbildung eindeutige Matrix

23.12.2017, 17:03

kellnn

Lineare Abbildung eindeutige Matrix

Hallo zusammen,

ich möchte wissen, ob mein Beweis richtig ist:

Aufgabe: Zu jeder linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha : \mathbb R^{n\times 1} \rightarrow \mathbb R^{m\times 1} \end{eqnarray*}$ gibt es genau eine Matrix: $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha = \widetilde{A} \end{eqnarray*}$ . Wobei $\begin{eqnarray*} \widetilde{A} \end{eqnarray*}$ ist die induzierte lineare Abbildung von A.

Erste Frage: wieso ist es $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times 1} \rightarrow \mathbb R^{m\times 1} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \alpha : \mathbb R^{m\times 1} \rightarrow \mathbb R^{1\times n} \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times 1} \rightarrow \mathbb R^{m\times 1} \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von n Zeilen zu m Zeilen und das macht keinen Sinn in diesem Fall.

Beweis:

A. Eindeutigkeit:

Seien $\begin{eqnarray*} A,B \in \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \widetilde{A} = \widetilde{B} \end{eqnarray*}$

Das impliziert: $\begin{eqnarray*} \widetilde{A}(e_i) = \widetilde{B}(e_i) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1,....n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A_{-,i} = B_{-,i} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i = 1,....n \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A = B \end{eqnarray*}$

B. Existenz:

Sei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ linear. Ich definiere eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{m \times n} \end{eqnarray*}$ durch
$\begin{eqnarray*} A_{-,i} = \alpha (e_i) \end{eqnarray*}$ .

Zu Zeigen: $\begin{eqnarray*} \alpha = \widetilde{A}: \mathbb R^{n\times 1} \rightarrow \mathbb R^{m\times 1} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} X_1 \\ . \\ .\\. \\ X_n \end{pmatrix} \in \mathbb R^{n\times 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha (X) = \alpha (X_1e_1 +...+X_1e_n) =_{\alpha ~ linear} X_1\alpha(e_1)+...+X_n\alpha(e_n) = X_1A_{-,1} +...+ X_nA_{-,n} = A\begin{pmatrix} X_1 \\ . \\ .\\. \\ X_n \end{pmatrix} = \widetilde{A}(X) \end{eqnarray*}$

Es ist okay, dass ich eine Matrix A in Teil B so definiert habe? Oder soll der Beweis zeigen, dass solche eine Matrix existiert? Wie weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \alpha(e_i) \end{eqnarray*}$ tatsächlich existiert?

Danke im Voraus!

23.12.2017, 18:10

Elvis

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RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz

Zitat:

Original von kellnn
Erste Frage: wieso ist es $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times 1} \rightarrow \mathbb R^{m\times 1} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \alpha : \mathbb R^{m\times 1} \rightarrow \mathbb R^{1\times n} \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times 1} \rightarrow \mathbb R^{m\times 1} \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung von n Zeilen zu m Zeilen und das macht keinen Sinn in diesem Fall.

Es ist egal, ob man den n-dimensionalen Vektorraum als $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\cong\mathbb R^{n\times 1}\cong\mathbb R^{1\times n} \end{eqnarray*}$ definiert, weil alle n-dimensionalen reellen Vektorräume isomorph sind.

Zitat:

Original von kellnn
Es ist okay, dass ich eine Matrix A in Teil B so definiert habe? Oder soll der Beweis zeigen, dass solche eine Matrix existiert?

Das ist okay, weil die Existenz einer Matrix - bei gegebener Basis - durch die Definition begründet wird. Alles was man konstruktiv definiert, existiert.

Zitat:

Wie weiß ich, dass $\begin{eqnarray*} \alpha(e_i) \end{eqnarray*}$ tatsächlich existiert?

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist eine Abbildung, $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ sind Basisvektoren, also insbesondere Vektoren, also gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} e_i \end{eqnarray*}$ genau ein Bild $\begin{eqnarray*} \alpha(e_i) \end{eqnarray*}$ .

23.12.2017, 20:06

kellnn

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RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz

Zitat:

Original von Elvis

Zitat:

Zuallererst danke ich Dir für die Erklärungen.
Isomorphismus und Vektoren sind noch nicht bei uns eingeführt. Vielleicht ist das warum, ich nicht alles nachvollziehen kann. Aber was hat deine Antwort mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n\times 1} \rightarrow \mathbb R^{m\times 1} \end{eqnarray*}$ zu tun? Das ist noch eine Abbildung von einem "Zeilraum" zu einem anderen Zeilraum under wir brauchen einen Zeilraum zu einem Spaltenraum, oder?

Andere Frage:

Wenn ich annehme, dass $\begin{eqnarray*} \widetilde{A} \end{eqnarray*}$ injektive ist. Wieso gilt: $\begin{eqnarray*} \widetilde{A}(0_n) = 0_m \end{eqnarray*}$ wegen der Linearität von $\begin{eqnarray*} \widetilde{A} \end{eqnarray*}$ ?

08.02.2018, 13:11

RomanGa

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RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz
Hallo kellnn, deine Frage ist, wieso die Abbildung von $\begin{eqnarray*} R^{nx1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} R^{mx1} \end{eqnarray*}$ zu der Matrix A mxn passt. Beispiel:
n = 2, m = 3
$\begin{eqnarray*} { v }_{ n }=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} { v }_{ m }=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v_{m} = A * v_{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ e & f \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dimensionen: (3,1) = (3,2) * (2,1)

Passt!

08.02.2018, 13:33

RomanGa

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RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz
Hallo kellnn, zu deiner Frage, wieso gilt a(0) = 0? Weil a(0) = a(0 * v) = 0 * a(v) = 0. Das hat mit Linearität, aber nichts mit Injektivität zu tun.

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