Lineare Abbildung eindeutige Matrix

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kellnn Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildung eindeutige Matrix
Hallo zusammen,

ich möchte wissen, ob mein Beweis richtig ist:

Aufgabe: Zu jeder linearen Abbildung gibt es genau eine Matrix: mit . Wobei ist die induzierte lineare Abbildung von A.

Erste Frage: wieso ist es und nicht ? ist eine Abbildung von n Zeilen zu m Zeilen und das macht keinen Sinn in diesem Fall.


Beweis:

A. Eindeutigkeit:

Seien mit

Das impliziert: für alle

für alle

B. Existenz:

Sei linear. Ich definiere eine Matrix durch
.

Zu Zeigen:

Sei



Es ist okay, dass ich eine Matrix A in Teil B so definiert habe? Oder soll der Beweis zeigen, dass solche eine Matrix existiert? Wie weiß ich, dass tatsächlich existiert?

Danke im Voraus!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz
Zitat:
Original von kellnn
Erste Frage: wieso ist es und nicht ? ist eine Abbildung von n Zeilen zu m Zeilen und das macht keinen Sinn in diesem Fall.

Es ist egal, ob man den n-dimensionalen Vektorraum als definiert, weil alle n-dimensionalen reellen Vektorräume isomorph sind.

Zitat:
Original von kellnn
Es ist okay, dass ich eine Matrix A in Teil B so definiert habe? Oder soll der Beweis zeigen, dass solche eine Matrix existiert?

Das ist okay, weil die Existenz einer Matrix - bei gegebener Basis - durch die Definition begründet wird. Alles was man konstruktiv definiert, existiert.

Zitat:

Wie weiß ich, dass tatsächlich existiert?

ist eine Abbildung, sind Basisvektoren, also insbesondere Vektoren, also gibt es zu jedem genau ein Bild .
 
 
kellnn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz
Zitat:
Original von Elvis
Zitat:
Original von kellnn
Erste Frage: wieso ist es und nicht ? ist eine Abbildung von n Zeilen zu m Zeilen und das macht keinen Sinn in diesem Fall.

Es ist egal, ob man den n-dimensionalen Vektorraum als definiert, weil alle n-dimensionalen reellen Vektorräume isomorph sind.


Zuallererst danke ich Dir für die Erklärungen.
Isomorphismus und Vektoren sind noch nicht bei uns eingeführt. Vielleicht ist das warum, ich nicht alles nachvollziehen kann. Aber was hat deine Antwort mit zu tun? Das ist noch eine Abbildung von einem "Zeilraum" zu einem anderen Zeilraum under wir brauchen einen Zeilraum zu einem Spaltenraum, oder?

Andere Frage:

Wenn ich annehme, dass injektive ist. Wieso gilt: wegen der Linearität von ?
RomanGa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz
Hallo kellnn, deine Frage ist, wieso die Abbildung von nach zu der Matrix A mxn passt. Beispiel:
n = 2, m = 3





Dimensionen: (3,1) = (3,2) * (2,1)

Passt!
RomanGa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineare Abbildung eindeutige Matriz
Hallo kellnn, zu deiner Frage, wieso gilt a(0) = 0? Weil a(0) = a(0 * v) = 0 * a(v) = 0. Das hat mit Linearität, aber nichts mit Injektivität zu tun.
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