Differentialgleichung Ansatz zur partikulären Lösung

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24.12.2017, 12:25

bigbig

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Differentialgleichung Ansatz zur partikulären Lösung

Hallo alle zusammen ,wie soll mein Ansatz zur Bestimmung der partikulären Lösung lauten ?

ax^2+bx+c?

Oder wie genau?

24.12.2017, 14:29

mYthos

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Ich würde sagen ja, denn es ist eine Diffgl. 2. O. und die Störfunktion ist ja auch ein Polynom ...

mY+

24.12.2017, 14:56

bigbig

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In der Musterland steht der Ansatz : x-1

Wie kommen die darauf ?

24.12.2017, 16:36

mYthos

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Der quadratische Ansatz $\begin{eqnarray*} y_p = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$ ist notwendig, weil die Diffgl. eben von 2. Ordnung ist!
Wenn man nun dieses allgemeine Polynom samt seinen Ableitungen in die Diffgl. einsetzt und den Koeffizientenvergleich durchführt, dann ist a = 0, b = 1, c = -1 (!)

$\begin{eqnarray*} 2a + 4ax + 2b + ax^2 + bx + c = x + 1 \end{eqnarray*}$

>>
Koeff.Vergl. mit $\begin{eqnarray*} x^2, x, x^0 \end{eqnarray*}$ ...

mY+

24.12.2017, 21:59

bigbig

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y = ax^2+bx+c

y`= 2ax+b

y´´= 2a

2a+4ax+2b+ax^2+bx+c = x+1

$\begin{eqnarray*} x*(4a+b)+ax^2+2a+2b+c= x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4a+b =1 \end{eqnarray*}$ b=1

$\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2a+2b+c=1 \end{eqnarray*}$

c= -1
$\begin{eqnarray*} yp = 1x-1+yh \end{eqnarray*}$

Was muss ich genau bei der b) machen Leute?

25.12.2017, 14:50

bigbig

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Hat jemand tipps?

27.12.2017, 10:21

Leopold

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Man könnte den folgenden Ansatz machen:

$\begin{align*} y = x-1 + u \end{align*}$

Damit geht das Randwertproblem über in

$\begin{align*} u'' + 2u' + u = 0 \, ; \ \ u(0)=1 , \ u(1)+u'(1)=1 \end{align*}$

Rechne das nach.

27.12.2017, 12:30

bigbig

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$\begin{align*} u'' + 2u' + u = 0 \end{align*}$

Bis hierhin war auch ich schon gekommen .

Aber ich habe nicht so richtig verstanden was ich hiernach machen soll?

Deinen Tipp habe ich auch nicht so genau verstanden ?
Wo soll ich genau 0 und 1 einsetzen?

27.12.2017, 12:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von bigbig
$\begin{align*} u'' + 2u' + u = 0 \end{align*}$
Aber ich habe nicht so richtig verstanden was ich hiernach machen soll?

Nun ja, es liegt doch eigentlich auf der Hand: du sollst die allgemeine Lösung dieser Dgl bestimmen. smile

27.12.2017, 13:00

Leopold

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Zitat:

Original von bigbig
$\begin{align*} u'' + 2u' + u = 0 \end{align*}$

Bis hierhin war auch ich schon gekommen .

...

Deinen Tipp habe ich auch nicht so genau verstanden ?

Das ist ein Widerspruch in sich. Wie kannst du hierher gekommen sein, wenn du meinen Tip nicht verstanden hast?
Wenn ich einmal deine letzte Aussage als wahr annehme, daß du nämlich meinen Tip nicht verstanden hast, dann kannst du auch nicht bis zu dieser Gleichung gekommen sein, jedenfalls nicht auf dem vorgeschlagenen Weg. Ich vermute einfach einmal, daß du diese Gleichung nicht deduktiv erschlossen hast, sondern sie, das Ziel vorwegnehmend, einfach nur hingeschrieben hast. Aber vielleicht vermute ich ja falsch ...
Am besten schreibst du den Rechenweg hin. Dann kannst du die Glaubwürdigkeit deines Vorgehens dokumentieren.

27.12.2017, 14:18

bigbig

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Ich hatte die Ableitungen nach u bestimmt und bin dann auf die Gleichung gekommen

Gut auf jeden Fall ist der nächste Schritt denke ich Eigenwerte berechnen :

alpha^2+2alpha + 1 = 0
alpha 1 = -1

alpha 2 = -1

Was Mann jetzt weiter machen soll , weiß ich auch nicht

27.12.2017, 14:23

klarsoweit

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Zumindest eine Lösung solltest du nun angeben können. smile

27.12.2017, 14:37

bigbig

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yh = c1*e^{-lambda}+c2*e^{-lambda}

Passt ?

27.12.2017, 14:56

klarsoweit

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Dir sollte aufgefallen sein, daß die Lösungen der Gleichung alpha^2+2alpha + 1 = 0 (die du nun mit lambda bezeichnest) identisch sind. Bei einer mehrfachen Nullstelle mit Vielfachheit 2 hast du die Lösungen $\begin{eqnarray*} y_1(x) = e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(x) = x \cdot e^{\alpha x} \end{eqnarray*}$ .

Tipp: besuche mal eine Vorlesung, die dieses Thema behandelt.

27.12.2017, 15:35

bigbig

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$\begin{eqnarray*} y_1(x) = e^{- x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(x) = -1 \cdot e^{- x} \end{eqnarray*}$

Die ganze Lösung sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} y =x-1+ e^{- x} -1 \cdot e^{- x} \end{eqnarray*}$

Jetzt haben die meistens immer so ne komische Matrix aufgestellt in der Musterlösung Big Laugh

Aber ich verstehe nicht wie die das genau machen ?

27.12.2017, 16:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von bigbig
Die ganze Lösung sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} y =x-1+ e^{- x} -1 \cdot e^{- x} \end{eqnarray*}$

Nein, das kann es nicht sein, denn wenn man das zusammenfaßt, haben wir schlicht y = x-1 . geschockt

27.12.2017, 16:30

bigbig

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$\begin{eqnarray*} y =x-1+ c1e^{- x} -c2x \cdot e^{- x} \end{eqnarray*}$

Weiter ?

28.12.2017, 08:44

klarsoweit

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Jetzt mußt du noch c_1 und c_2 so bestimmen, daß die Anfangs- und Randbedingungen stimmen. smile

28.12.2017, 22:05

bigbig

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Wie mache ich das ? Big Laugh

29.12.2017, 08:56

klarsoweit

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Ich fasse es nicht. unglücklich

Wie wäre es, wenn du mal y(0) und y(1) + y'(1) berechnest?

01.01.2018, 11:10

bigbig

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$\begin{eqnarray*} y =x-1+ c1*e^{- x} -c2*x \cdot e^{- x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y(0)= c1-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y (1) = c1*e^{- 1} -c2*\cdot e^{- 1} \end{eqnarray*}$

Ableitung:

$\begin{eqnarray*} 1- c1*e^{- x} +c2*x \cdot e^{- x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y '(1) = 1- c1*e^{- 1} +c2 \cdot e^{- 1} \end{eqnarray*}$

Passen die Ergebnisse Leute ?

Frohes neues Jahr Big Laugh

02.01.2018, 02:43

mYthos

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Nein! Vorzeichenfehler bei y(1), und y'(1) stimmt auch nicht, es müsste $\begin{eqnarray*} 1 - c_1 e^{-1} \end{eqnarray*}$ lauten.

Ausserdem hast du die Konstanten c1, c2 noch immer nicht bestimmt!

Du musst nun das Ganze, also Funktion an der Stelle x=0 und x = 1 und deren Ableitung an der Stelle x = 1 mit den gegebenen Randbedingungen verarbeiten!

Also y(0) = 0 und y(1)+y'(1) = 2 setzen.
Dabei entstehen zwei lineare Gleichungen in c1, c2, die du auflösen kannst [c1 = 1, c2 = e]
---------
Dir auch ein frohes neues Jahr, hoffentlich mit weniger Rechenfehlern ... Big Laugh

mY+

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