Quadratisches Minimierungsproblem

25.12.2017, 18:41	wosa	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratisches Minimierungsproblem Meine Frage: Hallo ich versuche gerade die Konvergenzrate der Gradientenmethode nachzuvolziehen, dazu wird in meinem Skript das quadratische Minimierungsproblem $\begin{eqnarray} \min_{x \in \mathbb R ^n} \frac{1}{2} \boldsymbol x^T \boldsymbol Q \boldsymbol x - \boldsymbol x^T \boldsymbol b \end{eqnarray}$ herangezogen. Mit den Vektoren x, b und der positiv definiten Matrix Q. Der Gradient der Funktion ergibt sich zu : $\begin{eqnarray} \boldsymbol Q \boldsymbol x - \boldsymbol b \end{eqnarray}$ Damit lautet der Iterationsschritt: $\begin{eqnarray} x_{k+1} = x_k - \alpha_k(\boldsymbol Q \boldsymbol x - \boldsymbol b) \end{eqnarray}$ mit der skalaren Schrittweite $\begin{eqnarray} \alpha_k \end{eqnarray}$ jetzt zu meinem Problem. Ich versuche nun die optimale Schrittweite $\begin{eqnarray} \alpha_k \end{eqnarray}$ zu berechnen. Dazu ist das Optimierungsproblem : $\begin{eqnarray} \min_{\alpha_k > 0} \frac{1}{2} (\boldsymbol x_k - \alpha_k \boldsymbol g_k)^T \boldsymbol Q \boldsymbol (\boldsymbol x_k - \alpha_k \boldsymbol g_k) - (\boldsymbol x_k - \alpha_k \boldsymbol g_k)^T \boldsymbol b \end{eqnarray}$ zu lösen mit $\begin{eqnarray} \boldsymbol g_k = \boldsymbol Q \boldsymbol x_k - \boldsymbol b \end{eqnarray}$ Die optimale Schrittweite soll sich dann zu $\begin{eqnarray} \alpha_k = \frac{\boldsymbol g_k^T \boldsymbol g_k}{\boldsymbol g_k^T \boldsymbol Q \boldsymbol g_k} \end{eqnarray}$ ergeben. Leider bin ich mir nicht sicher wie ich die 2. Minimierungsaufgabe richtig nach $\begin{eqnarray} \alpha_k \end{eqnarray}$ ableite. Meine Ideen: Ich nehme mal an dass da die Produktregel angewendet wird, nur weiß ich nicht wie ich die auf dieses Problem anwende. ich komme wenn ich am Anfang $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} (\boldsymbol x_k - \alpha_k \boldsymbol g_k)^T \boldsymbol Q \boldsymbol (\boldsymbol x_k - \alpha_k \boldsymbol g_k) \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \alpha_k \end{eqnarray}$ ableite auf $\begin{eqnarray} -\boldsymbol g_k^T ( \boldsymbol Q \boldsymbol x_k - \alpha_k \boldsymbol Q \boldsymbol g_k)- ( \boldsymbol x_k - \alpha_k \boldsymbol g_k ) ^T \boldsymbol Q \boldsymbol g_k \end{eqnarray}$ stimmt das so oder mache ich da etwas grundlegendes falsch? Ich bin mir da überhaupt nicht sicher. Schon einmal vielen Dank für eure Antworten

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