Bahn rechnen

25.12.2017, 22:27	pialokn	Auf diesen Beitrag antworten »
Bahn rechnen Hallo zusammen, es gibt ein Beispiel im Skript und ich möchte die Lösung wissen, um Bahnen und Operation zu verstehen. Ich habe schon in eine Menge von Lehrbüchern + Google nachgeschlagen aber leider bin ich nicht weiter gekommen. Ich hoffe, dass jemand mir helfen kann. Das Beispiel: Wir nehmen $\begin{eqnarray} (\mathbb R,+) \end{eqnarray}$ als Gruppe und $\begin{eqnarray} M = \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ als Menge mit Operation $\begin{eqnarray} \mathbb R \times \mathbb R^2 : (t,(x,y)) \mapsto (x+t,y-2t) \end{eqnarray}$ . Man rechnet nach, dass eine Operation vorliegt und identifiziert die Bahnen als Schar von parallelen Geraden. Falls jemand weitere ausführliche Beispiele/Videos/Erklärungen weiterleiten könnte, wäre ich dankbar dafür. Danke im Voraus und frohe Feiertage!
26.12.2017, 08:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe die Operation von $\begin{align} G = \mathbb{R} \end{align}$ (additive Gruppe der reellen Zahlen) auf $\begin{align} M = \mathbb{R}^2 \end{align}$ mit einem Kreis-Plus: $\begin{align} t \oplus (x,y) = \left( x+t \, , \, y-2t \right) \end{align}$ Um zu zeigen, daß $\begin{align} G \end{align}$ auf $\begin{align} M \end{align}$ operiert, sind $\begin{align} 0 \oplus (x,y) = (x,y) \end{align}$ und $\begin{align} t_1 \oplus \left( t_2 \oplus (x,y) \right) = (t_1 + t_2) \oplus (x,y) \end{align}$ nachzuweisen. Das ist eine leichte Übung. Probiere es selber. Die Bahn eines $\begin{align} (x,y) \end{align}$ besteht aus allen $\begin{align} t \oplus (x,y) \end{align}$ mit $\begin{align} t \in \mathbb{R} \end{align}$ , also allen Elementen $\begin{align} \left( x+t \, , \, y-2t \right) = (x,y) + t \left( 1,-2 \right) \, , \ \ t \in \mathbb{R} \end{align}$ Natürlich ist hier auf der rechten Seite mit dem Plus die Vektoraddition und mit der Multiplikation die skalare Multiplikation gemeint. Zugleich ist aus der Analytischen Geometrie bekannt, daß diese Elemente des $\begin{align} \mathbb{R}^2 \end{align}$ eine Gerade mit $\begin{align} (x,y) \end{align}$ als Stützvektor und $\begin{align} (1,-2) \end{align}$ als Richtungsvektor bilden. Wenn ich von einem anderen $\begin{align} (x,y) \end{align}$ die Bahn betrachte, ändert sich der Stützvektor, nicht jedoch der Richtungsvektor. Das erklärt die ganze Geometrie hinter der Sache.
26.12.2017, 13:56	pialokn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, ich danke Dir für die Erklärung. Ich versuche es und schreibe danach zurück. Ich wollte Dir eine private Nachricht schreiben. Hast Du private Nachrichten blockiert?

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