Erzeugte Sigma-Algebra bestimmen

26.12.2017, 19:28

forbin

Erzeugte Sigma-Algebra bestimmen

Hallo,

ich habe hier folgende Aufgabe:
Es soll die von $\begin{eqnarray*} \epsilon = \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ erzeugte Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \frak{A} \end{eqnarray*}$ zur Obermenge $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

Die Lösung dazu ist: $\begin{eqnarray*} \frak{A} = \{ \mathbb R, \{ \emptyset \}, \mathbb R \cup \{\emptyset\}, \emptyset \} \end{eqnarray*}$

Nun, ich kenne die Axiome und kann die Lösung zwar auch verstehen, aber ich frage mich, warum $\begin{eqnarray*} \frak{A} = \{ \mathbb R, \emptyset \} \end{eqnarray*}$ falsch ist.

Meine Vermutung (und damit auch meine Frage) ist: Muss $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ Element der Sigma-Algebra sein, statt "nur" Teilmenge?

26.12.2017, 22:19

sibelius84

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$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist ein Mengensystem über der Grundmenge und damit auf der selben "Hierarchiestufe" wie eine Sigma-Algebra. Die Forderung ist, dass die Elemente von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ auch Elemente der Sigma-Algebra sein sollen (und damit insbesondere Teilmengen der Grundmenge).

Die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \epsilon=\{\{\emptyset\}\} \end{eqnarray*}$ widerspricht dem allerdings, denn es ist ja nur $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ , nicht aber $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Wenn man die Obermenge abänderte zu $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathcal P(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \Omega=\{\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ , dann würde es wieder Sinn machen. Im letzteren Fall wäre sogar $\begin{eqnarray*} \sigma(\epsilon)=\mathcal P(\Omega) \end{eqnarray*}$ die maximale Sigma-Algebra. smile

27.12.2017, 00:24

forbin

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Ah, zwei mengenklammern Zuviel gemacht...
Es sollte also $\begin{eqnarray*} \epsilon = \{ \emptyset \} \end{eqnarray*}$ heißen.

27.12.2017, 19:00

sibelius84

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RE: Erzeugte Sigma-Algebra bestimmen
Dann sehe ich auch keinen Grund, warum nicht

$\begin{eqnarray*} \frak{A} = \{ \mathbb R, \emptyset \} \end{eqnarray*}$

gelten sollte.

27.12.2017, 19:11

Leopold

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Die Elemente der Sigma-Algebra sollten doch Teilmengen vor $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ sein. Jetzt ist aber $\begin{align*} \{ \emptyset \} \end{align*}$ überhaupt keine Teilmenge von $\begin{align*} \mathbb{R} \end{align*}$ . Insofern verstehe ich die Lösung auch nicht. verwirrt

27.12.2017, 20:24

forbin

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Hm, dann sollte ich mal mit meinem Übungsleiter reden.

Also ich würde es gerne für mich nochmal überprüfen und zusammenfassen mit folgenden Angaben:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb N, \epsilon = \emptyset \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} \frak{A}(\epsilon) = \{\mathbb N, \emptyset\} \end{eqnarray*}$

Sei nun $\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb N, \epsilon = \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$
Auch dann ist $\begin{eqnarray*} \frak{A}(\epsilon) = \{\mathbb N, \emptyset\} \end{eqnarray*}$ , denn $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ist Teilmenge, wenn auch nicht Element der Sigma-Algebra?

Wie bekomme ich eigentlich das Epsilon hin, dass unten so schön geschwungen ist?

27.12.2017, 23:59

sibelius84

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Das ist jetzt auch nicht ganz richtig. Richtig ist:

-> Eine Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ über einer Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ enthält Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ (insbesondere immer $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ selbst).

-> Ist $\begin{eqnarray*} \mathcal E\subseteq \mathcal P(\Omega) \end{eqnarray*}$ (!) ein beliebiges System irgendwelcher Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , so bezeichnet $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal E) \end{eqnarray*}$ die kleinste Sigma-Algebra, die $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ umfasst.

Die von dir gepostete Aufgabe wäre also sinnvoll gewesen für $\begin{eqnarray*} \mathcal E = \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ . Es waren ein Paar Mengenklammern zuviel, nicht zwei Paar.

Das $\begin{eqnarray*} \mathcal E \end{eqnarray*}$ ist übrigens kein epsilon, sondern ein E und wird erzeugt mit dem Code \mathcal E bzw. \mathcal{E}.

28.12.2017, 17:41

forbin

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Zitat:

Original von sibelius84
Die von dir gepostete Aufgabe wäre also sinnvoll gewesen für $\begin{eqnarray*} \mathcal E = \{\emptyset\} \end{eqnarray*}$ . Es waren ein Paar Mengenklammern zuviel, nicht zwei Paar.

Also bevor das jetzt durcheinander geht:
Ich habe es im Eingangspost geändert. Ich hatte ja auch "zwei Mengenklammern" geschrieben Augenzwinkern

Von daher passt deine Aussage ja jetzt auf die ursprünglich gemeinte Aufgabe Big Laugh

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