Linearisierung einer DGL 2. Ordnung

26.12.2017, 21:01	Mud91	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearisierung einer DGL 2. Ordnung Hallo ich habe folgendes DGL: $\begin{eqnarray} y^{''} = -y \end{eqnarray}$ Für ein Randwertproblem habe ich folgendes gegeben: $\begin{eqnarray} y^{'}(0) + y(0) = 1, y^{'} (1)=0 \end{eqnarray}$ Mthilfe des Exponentialansatzes habe ich folgende die Nullstellen +-1 gefunden. Nun möchte ich aus der DGL ein DGL 1 Ordnung machen. und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} y \\ y^{'} \end{pmatrix} ^{'} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} ^{'} = \begin{pmatrix} y_2 \\ -y1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ jedoch kommt $\begin{eqnarray} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Frage ist, wie erkannt werden kann, ohne die Eigenwerte zu kennen, dass 1 und nicht -1 in der Matrix ist. Da ja y''' = -y und somit y2' = -y1 ist. Danke
26.12.2017, 21:43	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mud91, du hast dich beim Exponentialansatz verrechnet. Da kommt nicht +/-1, sondern +/-i heraus (i=imaginäre Einheit). Die reellen Fundamentallösungen ergeben sich damit als sin(x) und cos(x). Dann müsste es auch mit der Matrix wieder passen, oder? LG sibelius84

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