Approximationssatz von Weierstraß einfach erklärt?

27.12.2017, 11:15	Blueberrytrash	Auf diesen Beitrag antworten »
Approximationssatz von Weierstraß einfach erklärt? Meine Frage: Hey Kurz zum Grund meines Anliegens: Ich schreibe momentan an einer Facharbeit zu dem Thema Polynominterpolation. Bei Recherchen zu diesem Thema ist mir der Approximationssatz über den Weg gelaufen. Die Erklärungen auf Wikipedia verstehe ich leider nicht und irgendwie scheinen alle Seiten, auf die ich stoße, auf dieser Erklärung zu basieren.. Kann mir jemand helfen und den Satz für nicht ganz so schlaue Menschen, wie mich, erklären? Danke Meine Ideen: Ich hab echt keinen Plan...
27.12.2017, 18:40	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Thema Polynominterpolation finde ich erst einmal ein paar einfache Sachen auf Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Polynominterpolation Welchen Satz von Weierstraß meinst du ? Wo steht das auf Wikipedia, was du nicht verstehst ? Was verstehst du daran nicht ? Ich bin nicht schlau genug, das auf meinem Bildschirm zu sehen, was du auf deinem Bildschirm siehst.
27.12.2017, 18:53	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Was verstehst du unter "erklären"? Begreiflichmachen, worum es geht? Oder einen Beweis des Satzes? Das zweite geht natürlich nicht mit wenigen Worten, dazu findet man aber Beweise in vielen Analysis- oder Topologiebüchern. Das erste ist schnell gemacht: Man kann jede auf einem kompakten Intervall definierte stetige reelle Funktion beliebig gut durch Polynome approximieren. Ein schönes Beispiel ist die Betragsfunktion $\begin{align} f(x) = \|x\| \end{align}$ . Nehmen wir sie im Intervall $\begin{align} I=[-1,1] \end{align}$ . (Genau dieses Beispiel ist auch in den gängigen Beweisen des Approximationssatzes ein wichtiger Beweisschritt.) Die approximierenden Polynome kann man rekursiv definieren. Zunächst: $\begin{align} q_0(x) = 0 \end{align}$ $\begin{align} q_{n+1}(x) = q_n(x) + \frac{1}{2} \left( x - \left( q_n(x) \right)^2 \right) \, , \ \ n \geq 0 \end{align}$ Dann sind die Polynome $\begin{align} p_n \end{align}$ mit $\begin{align} p_n(x) = q_n(x^2) \end{align}$ geeignet. Die ersten habe ich einmal mit einem CAS berechnet. $\begin{align} p_0(x) = 0 \end{align}$ $\begin{align} p_1(x) = \frac{1}{2} x^2 \end{align}$ $\begin{align} p_2(x) = x^2 - \frac{1}{8} x^4 \end{align}$ $\begin{align} p_3(x) = \frac{3}{2} x^2 - \frac{5}{8} x^4 + \frac{1}{8} x^6 - \frac{1}{128} x^8 \end{align}$ $\begin{align} p_4(x) = x^2 - \frac{7}{4} x^4 + \frac{17}{16} x^6 - \frac{25}{64} x^8 + \frac{23}{256} x^{10} - \frac{13}{1024} x^{12} + \frac{1}{1024} x^{14} - \frac{1}{32768} x^{16} \end{align}$ [attach]46120[/attach] Wie die Graphik zeigt, passen sich die Graphen der Polynome immer besser dem Graphen der Betragsfunktion an. Andererseits ist die Gegend um den Nullpunkt herum doch recht sperrig. Es dauert sozusagen, bis die Knickstelle gut genug erfaßt wird.

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