Bedingte WK berechnen

27.12.2017, 11:52

Der_Apfel

Bedingte WK berechnen

Aufgabe: Eine Firma stellt 3 verschiedene Autos mit 3 verschiedenen Ausstattungen her (wobei es nur um eine in dieser Aufgabe geht): 30% der Autos sind vom Typ A, 50% vom Typ B und 20% vom Typ C. Der Anteil der L-Variante beim Typ-A sind 20%, beim Typ-B 44% und beim Typ C 60%.
Ich soll nun $\begin{eqnarray*} P(A|L) \end{eqnarray*}$ berechnen, das hab ich bis jetzt: $\begin{eqnarray*} P(A|L) = \frac{P(A\cap L)}{P(L)} = \frac{P(A\cap L)}{P(A) \cdot P(L|A) \cdot P(\bar{A}) \cdot P(L|\bar{A})} \end{eqnarray*}$ , ich habe: $\begin{eqnarray*} P(A \cap L ) = 0.3 \cdot 0.2 = 0.06, P(A) = 0.3, P(L|A) = 0.2, P(\bar{A}) = 0.7 \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} P(L|\bar{A}) \end{eqnarray*}$ hab ich nicht, wie komme ich da drauf?

Sowas wie: $\begin{eqnarray*} P(L|\bar{A}) = \frac{P(L\cap \bar{A})}{P(\bar{A})} = \frac{P(\bar{A}|L)\cdot P(L)}{P(\bar{A})} \end{eqnarray*}$ funktioniert auch nicht

27.12.2017, 12:56

klauss

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RE: Bedingte WK berechnen
Wie kommst Du auf $\begin{align*} P(A) \cdot P(L|A) \cdot P(\bar{A}) \cdot P(L|\bar{A}) \end{align*}$ ?
Das Ereignis $\begin{align*} L \end{align*}$ ist doch $\begin{align*} (A\cap L)\cup (B\cap L)\cup (C\cap L) \end{align*}$ . Formulier damit nochmal die Wahrscheinlichkeiten.

27.12.2017, 13:25

Der_Apfel

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Zitat:

Wie kommst Du auf...

Ist das nicht der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, ich dachte, den könnte man da anwenden?

27.12.2017, 13:41

klauss

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Totale Wahrscheinlichkeit ist gut, aber man muß sie halt richtig hinschreiben.
Ist mein Vorschlag denn plausibel?

27.12.2017, 14:21

Der_Apfel

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Ja schon, aber ginge das auch mit der totalen WK? Ich dachte, ich hätts richtig hingeschrieben.

27.12.2017, 14:31

klauss

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Ich sage ja, dass totale Wahrscheinlichkeit richtig ist, nur das Ereignis $\begin{align*} L \end{align*}$ wie von mir vorgeschlagen hingeschrieben werden sollte.
Rechne doch jetzt mit meiner Variante und werde Dir klar, worin der Unterschied zu Deiner Schreibweise besteht.
(Ich habe extra nur $\begin{align*} L \end{align*}$ angegeben, $\begin{align*} P(L) \end{align*}$ sollst Du daraus selbst ableiten)

27.12.2017, 14:35

Der_Apfel

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$\begin{eqnarray*} P(L) = P((A\cap L) \cup (B\cap L) \cup (C\cap L)) = P(A) \cdot P(L) + P(B) \cdot P(L) + P(C) \cdot P(L) \end{eqnarray*}$ ?

Mir ist allerdings nicht ganz klar, worin da der Unterschied besteht bzw. ich würde gerne wissen, wie ich es auf meinem Weg hätte lösen können (wenn überhaupt).

27.12.2017, 15:03

klauss

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Zunächst stimmt das so nicht, denn z. B. ist
$\begin{align*} P(A\cap L)=P(A)\cdot P(L|A) \end{align*}$ usw.
Der wesentliche Unterschied zu Deiner Schreibweise besteht darin, dass nun in der Formel für $\begin{align*} P(L) \end{align*}$ "+"-Zeichen auftauchen.
Außerdem war es vielleicht ungünstig, mit $\begin{align*} P(\overline A) \end{align*}$ rechnen zu wollen, denn $\begin{align*} \overline A \end{align*}$ ist hier gleich $\begin{align*} B \cup C \end{align*}$ und in dieser Schreibweise einleuchtender, da in disjunkte $\begin{align*} B \end{align*}$ und $\begin{align*} C \end{align*}$ zerlegbar. D. h. $\begin{align*} P(L | \overline A) \end{align*}$ ist kein Problem.

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