V/Kern Intuition

27.12.2017, 20:30

fix6789

V/Kern Intuition

Hallo zusammen,

was bedeutet genau $\begin{eqnarray*} V/Kern(f) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung von zwei K-VR ist. Wie kann ich das vorstellen? Der Kern ist ja alle $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ aber ich kann mir nicht vorstellen was $\begin{eqnarray*} V/Kern(f) \end{eqnarray*}$ bringt und was das mit dem Homomorphiesatz bringt.

Danke im Voraus.

27.12.2017, 21:51

NurEinGast

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Hallo!

Ich denke, es ist gut, etwas auszuholen. Ich hoffe, ich kann das Ganze gut sortieren. Wenn es zu konfus ist, bitte ich um Nachfragen! Zu deiner konkreten Frage komme ich dann gegen Ende.

Etwas Intuition/Motivation:
Hat man eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon V \to W \end{eqnarray*}$ gegeben, so kann man den Kern $\begin{eqnarray*} Kern(f) \end{eqnarray*}$ davon betrachten, was ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist.

Wir wollen jetzt die umgekehrte Fragestellung untersuchen: Gegeben einen Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \subset V \end{eqnarray*}$ , gibt es eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon V \to W \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Kern(f) = U \end{eqnarray*}$ ? Im besten Falle ist solch ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sogar kanonisch.

Nehmen wir mal an, dass so ein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} Kern(f) = U \end{eqnarray*}$ existiert. O.B.d.A. können wir annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist (sonst ersetze $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} im(f) \end{eqnarray*}$ ). Sei also $\begin{eqnarray*} f \colon V \to W \end{eqnarray*}$ eine surjektive lineare Abbildung mit $\begin{eqnarray*} Kern(f) = U \end{eqnarray*}$ .

Die Frage ist nun:
Was können wir über $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ aussagen? Wie muss $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ aussehen?

Auf jeden Fall kann man jedes $\begin{eqnarray*} w \in W \end{eqnarray*}$ schreiben als $\begin{eqnarray*} w = f(v) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ . Das ist möglich, da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist. Diese Darstellung ist aber nicht eindeutig (außer $\begin{eqnarray*} U = \{0\}) \end{eqnarray*}$ :

Es gilt $\begin{eqnarray*} f(v_1) = f(v_2) \Leftrightarrow f(v_1 - v_2) = 0 \Leftrightarrow v_1 - v_2 \in Kern(f) = U \end{eqnarray*}$ .

Was heißt das?
Schreibt man $\begin{eqnarray*} [v_i] \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} f(v_i) \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} [v_1] = [v_2] \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} v_1 - v_2 \in U \end{eqnarray*}$ .

Jetzt sind wir aber oben schon davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ existiert, obwohl wir die Existenz eines solchen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ 's ja gerade untersuchen möchten. Das heißt, wir wandeln die obigen Überlegungen in eine Definition um (Vorsicht, ab jetzt haben wir keine Abbildung $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mehr):

$\begin{eqnarray*} V/U := \{ [v] | v \in V \} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} [v_1] = [v_2] \Leftrightarrow v_1 - v_2 \in U \end{eqnarray*}$ . Durch die Addition $\begin{eqnarray*} [v_1] + [v_2] := [v_1 + v_2] \end{eqnarray*}$ und die Skalarmultiplikation $\begin{eqnarray*} \lambda [v] := [\lambda v] \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} v_1, v_2, v \in V, \lambda \in K \end{eqnarray*}$ ) wird dies zu einem $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

Nun haben wir eine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon V \to V/U, v \mapsto [v] \end{eqnarray*}$ , die genau die obigen gewünschten Eigenschaften erfüllt.

Wieder etwas Intuition:
Ich denke, das Beste ist es, sich lineare Gleichungssysteme vorzustellen.
Sei $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} A \in Mat(m \times n, K) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b \in K^m \end{eqnarray*}$ ein lineares Gleichungssystem.

Wie bekannt sein sollte, ist die Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb L \end{eqnarray*}$ von diesem ein affiner Unterraum des $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ oder leer. Im ersten Fall existieren $\begin{eqnarray*} v \in K^n \end{eqnarray*}$ und ein Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U\subset V = K^n \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \mathbb L = v+U \end{eqnarray*}$ . Der Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist dabei eindeutig bestimmt (siehe unten), aber $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nicht: Für jedes $\begin{eqnarray*} v' \in \mathbb L \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mathbb L = v' + U \end{eqnarray*}$ . Der Stützvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ist also leider nicht eindeutig bestimmt, aber wir bekommen die nächst bessere Situation:

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} v' \in \mathbb L \end{eqnarray*}$ liegt, gibt es $\begin{eqnarray*} u' \in U \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} v' = v + u' \end{eqnarray*}$ . Es folgt:

$\begin{eqnarray*} v - v' = u' \in U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} [v] = [v'] \in V/U \end{eqnarray*}$ .

Zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v, v' \end{eqnarray*}$ lösen also das LGS $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ genau dann wenn sie das gleiche Element in $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ergeben.

Es sollte ebenfalls bekannt sein, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge des homogenen LGS $\begin{eqnarray*} Ax = 0 \end{eqnarray*}$ ist, d.h. der Kern der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon V=K^n \to K^m, x \mapsto Ax \end{eqnarray*}$ . Der Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ hängt also insbesondere nicht von der rechten Seite $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ab, d.h. in gewisser Hinsicht ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ uninteressant, und der interessante Teil der Lösungsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb L \end{eqnarray*}$ steckt in der speziellen Lösung $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Wenn ich $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ verändere, verändert sich $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , aber nicht $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ !

Jetzt kommt der Knackpunkt:
Man bekommt also eine injektive lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \overline f \colon V/U \to K^m, [v] \mapsto f(v) \end{eqnarray*}$ . (Hierbei ist die Injektivität und die Wohldefiniertheit von $\begin{eqnarray*} \overline f \end{eqnarray*}$ nachzuweisen.)

Noch einmal: Das bedeutet einfach, dass $\begin{eqnarray*} v+U = \{ v+u | u \in U \} \end{eqnarray*}$ die Lösungsmenge des inhomogenen LGS $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} b = f(v) \end{eqnarray*}$ . Hierbei ist $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ nicht eindeutig bestimmt, aber $\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$ ist eindeutig bestimmt!

Konkret zu deiner Frage:
Gegeben eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f \colon V \to W \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \overline f \colon V/Kern(f) \to W, [v] \mapsto f(v) \end{eqnarray*}$ eine wohldefinierte, injektive lineare Abbildung. Es hilft wie gesagt, sich vorzustellen, dass $\begin{eqnarray*} Kern(f) \end{eqnarray*}$ keine wichtigen Informationen über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liefert, denn für $\begin{eqnarray*} v \in Kern(f) \end{eqnarray*}$ gilt ja $\begin{eqnarray*} f(v) = 0 \end{eqnarray*}$ , also "teilt man den Kern einfach raus, um die unwichtigen Infos wegzuwerfen und nur die wichtigen zu behalten". Der Homomorphiesatz besagt nun, dass wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ surjektiv ist, ist $\begin{eqnarray*} \overline f \end{eqnarray*}$ sogar ein Isomorphismus. (Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv, so ist $\begin{eqnarray*} \overline f \colon V/Kern(f) \to im(f) \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus.)

Um den Homomorphiesatz wieder auf die linearen Gleichungssysteme anzuwenden: Ist $\begin{eqnarray*} f \colon K^n \to K^m, x \mapsto Ax \end{eqnarray*}$ surjektiv, so ist das LGS $\begin{eqnarray*} Ax = b \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} b \in K^m \end{eqnarray*}$ lösbar.
Es gibt also für jedes $\begin{eqnarray*} b \in K^m \end{eqnarray*}$ genau ein $\begin{eqnarray*} [v] \in V/U \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} f(v) = Av =b \end{eqnarray*}$ . Dies heißt nichts anderes, als dass $\begin{eqnarray*} \overline f \colon K^n/U \to K^m \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist.

04.01.2018, 20:58

fix6789

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Hallo,

vielen Dank für solche eine Erklärung. Ich habe den Beitrag ein Paar schon gelesen und ich werde ein Paar weitere Male. Ich wollte nur zurück schreiben, sodass du nicht denkst, dass ich ihn nicht gelesen habe. smile

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