Integral mit Hyperbolischer Substitution

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davidr Auf diesen Beitrag antworten »
Integral mit Hyperbolischer Substitution
Meine Frage:
Gesucht ist folgendes Integral:



Meine Ideen:
Ich habe mir die "offizielle Lösung" angeschaut und diese gibt mir dass die Stammfunktion durch gegeben ist.

Ich versuchte nun mein Glück mit Hyperbolischer Substitution mit dem Ansatz


Somit habe ich das Integral wie folgt gelöst:





Jedoch ist

Ich wäre sehr froh wenn jemand von Euch meinen Fehler sehen könnte.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inetgral mit Hyperbolischer Substitution
Willkommen im Matheboard!

Zitat:
Original von davidr
Ich versuchte nun mein Glück mit Hyperbolischer Substitution mit dem Ansatz

Das ist falsch. Die Ableitung von ist .
davidr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inetgral mit Hyperbolischer Substitution
Dank für Deine Antwort, jedoch bin ich nicht ganz sicher was du damit genau meinst. (Vielleicht habe ich auch einfach nur eine sehr lange Leitung).

Das ist nur ein fixer Parameter und somit sollte doch da ja die Ableitung von ist.

Das muss ich ja als zum dazumultiplizieren, damit ich die Substitution in der Wurzel durchführen kann.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Vergiss meinen Kommentar oben wieder. Ich dachte bei an die Umkehrfunktion von (oft auch geschrieben) und nicht an ... Big Laugh

Ok, deine Lösung ist fast richtig, bis auf die Rücksubstitution am Ende. Es ist .

Wo hast du die "offizielle" Lösung her? Und was soll da das sein?
davidr Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Fehler - habe die falsche Lösung abgetippt, man hätte noch Rücksubstituieren müssen, dann gäbe es

Zitat:
Wo hast du die "offizielle" Lösung her?

Kann hier leider keine URLs Posten (-> habe zuwenig Beiträge). Wenn Du aber "stewart trigonometric substitution" googelst ist es das oberste Resultat - ein PDF. Auf Seite 3 ganz unten als Example 5. Dort wird es anders gelöst, mit einer Substitution mit .
Wenn ich das Problem in WolframAlpha eingebe gibt spukt es mir auch diese Lösung aus.

Ich habe dann halt, da mir dies ein bisschen zu Aufwendig erscheint in unserem Uni-Skript nachgeschaut (Skript Analysis 1 & 2 an der ETH Zürich) und dort steht, dass man bei mit substituieren könne.

Zitat:
Und was soll da das sein?

Habe ich einfach als Variable genommen, hätte da aber besser oder nehmen sollen um es nach "Konvention" zu machen. Ups


Zitat:
Ok, deine Lösung ist fast richtig, bis auf die Rücksubstitution am Ende. Es ist .


Das würde aber immer noch folgendes geben, oder nicht? verwirrt

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von davidr
Habe ich einfach als Variable genommen, hätte da aber besser oder nehmen sollen um es nach "Konvention" zu machen. Ups

Wie du die Variable nennst, ist völlig egal, da gibt es keine "Konvention". Es ging bloß darum, was da substituiert wurde. Augenzwinkern

Zitat:
Original von davidr
Das würde aber immer noch folgendes geben, oder nicht? verwirrt


OK, noch eine kleine Einschränkung: Deine Lösung ist nur für eine Stammfunktion (für ist ja gar nicht definiert). Und da ist dann tatsächlich .

Für ist .
 
 
davidr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
OK, noch eine kleine Einschränkung: Deine Lösung ist nur für eine Stammfunktion (für ist ja gar nicht definiert). Und da ist dann tatsächlich . Für ist .



Ganz herzlichen Dank für Deine Erklärung. Jetzt ist es schon viel klarer.
Habe es soeben in Mathematica geplottet und die beiden Graphen liegen wirklich übereinander.

Somit hat sich mein Problem gelöst. Freude . Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Früher galt das hier zu lösende Integral als Grundintegral. Da man den Integranden aus der Differentialrechnung als Ableitung des Area Cosinus Hyperbolicus kannte, war das Problem schon gelöst. Aber diese Zeiten sind in Schule und Universität wohl längst vorbei.

Hier eine andere Lösung mit einer Substitution, die nicht ganz bis zu den hyperbolischen Funktionen absteigt und ohne vorgeschobene Exponentialfunktion auskommt.
Es genügt, den Fall zu behandeln, denn durch die Substitution läßt sich der allgemeine Fall auf diesen zurückführen. Ferner betrachten wir das unbestimmte Integral im Intervall . Den Fall bekommt man dann durch eine Symmetriebetrachtung.

Die Substitution



bildet das Intervall bijektiv auf sich ab. Denn die Ableitung



ist für positiv, so daß die Funktion in diesem Bereich streng monoton wächst. Ferner gilt für . Die Auflösung nach ergibt



Man rechnet



und transformiert (der Term zuletzt in der Klammer ist für immer positiv)



Somit gilt

davidr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Substitution


Das ist natürlich die viel schönere Lösung als ich sie mit der hyperbolischen Substitution oder auch die Musterlösung je hätte machen können. Ich muss aber zugeben, dass ich sehr wahrscheinlich nicht auf diese Substitution gekommen wäre.

Danke für Deinen Vorschlag. Finde diese Substitution am schönsten, da der keine "zu abstrakte" Substitution verlangt und man auch sehen kann woher die Terme in der Stammfunktion kommen Freude .
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