Optimale Ampelschaltung

28.12.2017, 10:17	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Optimale Ampelschaltung Hay Leute! Über die Ferien habe ich von meinem Professor ein kleines Projekt zugeteilt bekommen. Allerdings komme ich einfach nicht weiter und freue mich über jegliche Hinweise. Also: Drei Autobahnabfahrten münden in ein und dieselbe Mautstelle. Auf jeder der drei Abfahrten ist eine Ampel installiert. Die zu bezahlenden Mautkosten richten sich danach, von welcher Ausfahrt man kommt und sind wie folgt: von der A1 ---- 40 € von der A2 ---- 50 € von der A3 ---- 60 € Aufzeichnungen haben ergeben, dass von der A1, der A2 und der A3 mit 550 Autos pro Stunde, 650 Autos pro Stunde und 450 Autos pro Stunde zu rechnen ist. An einen Ampelzyklus werden gewisse Bedingungen gestellt. Diese sind wie folgt: Ein grün-gelb-rot-Zyklus darf höchstens 2,2 Minuten dauern. Eine Grünphase muss mindestens 22 Sekunden dauern. Gelbes Licht leutet für jeweils 10 Sekunden. Die Mautstelle kann maximal 500 Autos pro Stunde abfertigen. Ziel ist es nun, dass die Mautstelle möglichst viele Autos pro Stunde abfertigen kann und der Umwelt zuliebe die Stehzeiten kurz gehalten werden. Weiters hat der Autobahnbetreiber natürlich ein Interesse daran, die Mauteinnahmen pro Ampelzyklus zu maximieren. Finden Sie einen bestmöglichen Plan für die Schaltung dieser drei Ampeln. Meine Ansätze: Zuerst versuchte ich meine Variablen nach den Autos pro Stunde zu benennen, sprich: $\begin{eqnarray} <br /> x_{1} <br /> \end{eqnarray}$ ... Autos von A1 pro Stunde $\begin{eqnarray} <br /> x_{2}<br /> \end{eqnarray}$ ... Autos von A2 pro Stunde $\begin{eqnarray} <br /> x_{3} <br /> \end{eqnarray}$ ... Autos von A3 pro Stunde Ich stellte zwei Zielfunktionen auf: $\begin{eqnarray} <br /> 1) max -> x_{1} + x_{2} + x_{3} \end{eqnarray}$ ... Autos pro Stunde $\begin{eqnarray} <br /> 2) max -> 40x_{1} + 50x_{2} + 60x_{3} \end{eqnarray}$ ... Profit pro Stunde unter $\begin{eqnarray} x_{1} + x_{2} + x{3} \leq 500 \end{eqnarray}$ ... maximal 500 Autos pro Stunde (Mautstelle) (Einschränkungen für meine $\begin{eqnarray} x_{i} \end{eqnarray}$ führe ich nicht extra an, weil sie sich aus dem Text schön rauslesen) Hier war allerdings mein Thema, dass ich die Ampelschaltung ja noch nicht berücksichtige und auch nicht weiß, wie ich diese in meine Variablen vielleicht sogar einbauen kann. Wenn ich es statt auf Stunden, auf Sekunden runterbrechen würde, könnte ich dann durch mein Ergebnis berechnen, wielange meine Grün- bzw. Rotphase pro Ampel dauern? Immerhin können diese Zeiten ja von Ampel zu Ampel variieren. Abgesehen davon kann ja meine Zielfunktion nicht einer Nebenbedingung entsprechen, denn dann hätte ich keine eindeutige Lösung mehr oder denke ich da falsch? Weitere Berechnungen und Überlegungen: Ein grün-gelb-rot-Zyklus verstehe ich als Grün-Gelb-Rot-Gelb ( $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 132 (=2,2 Minuten)) und dann wieder von vorne, sprich meine Gelbphase entsteht zweimal womit ich auf 20 Sekunden insgesamt komme. Meine Grünphase ist $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 22 und dadurch ergibt sich für meine Rotphase $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray*}$ 90. Habt ihr vielleicht ein paar Hinweise für mich oder könnt mir sagen, ob ich mit ein paar meiner Überlegungen bereits am richtigen Weg bin oder eben nicht? LG
28.12.2017, 13:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Mautstelle ist viel zu klein, wenn sie nur 500 Autos/h abfertigen kann und mit 1650 Autos/h zu rechnen ist. Baue 3 Mautstellen, die dem Verkehrsaufkommen gerecht werden, und lasse die Ampeln weg. Eine wesentlich bessere Strategie als Optimierung mit vermutetem Verkehrsaufkommen ist m.E. eine dynamische Verkehrssteuerung. Es kommt bestimmt zu Tumulten und Aufständen, wenn die A2 drei Tage lang gesperrt ist und die Fahrer an den Ampeln A1 und A3 trotzdem warten müssen. (Eine derart "optimale" Strategie kan ja wohl nur von Herrn Dobrindt stammen. ) Optimierung mit mehreren Zielfunktionen soll man nicht auf Optimerungen mit einer Zielfunktion reduzieren: https://de.wikipedia.org/wiki/Pareto-Optimierung (zum Beispiel) oder hier : optiv.de/Methoden/MehrZOpt/MehrZOpt.pdf (zum Beispiel) . Entscheidungsvariablen sollten vermutlich die 9 Ampelphasen der 3 Ampeln sein. Anzahl der Autos und Standzeiten sollten daraus berechnet werden können. Für die Berechnung der abhängigen Variablen müsste man mehr über die Strassenführung wissen.
28.12.2017, 15:31	LuciaSera	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die Angabe umschreiben dürfte, würde ich das sogar machen Wenn ich diese Pareto-Optimierung richtig verstehe, geht es mehr darum, den besten "Kompromiss" zu finden anstatt die "optimale Lösung" oder? Wie kommst du auf 9 Ampelphasen? Wenn ich es richtig verstanden habe, ist doch Gelb eine konstate Phase, da ich weiß, dass sie jeweils 10 Sekunden dauert. Wieso muss ich diese dann als Entscheidungsvariable anführen? Über die Straßenführung weiß ich leider nicht mehr. Das was ich oben geschrieben habe, sind alle Infos die ich habe..
28.12.2017, 18:43	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man mehrere Ziele verfolgt, gibt es im allgemeinen keine optimale Lösung. Bei mehreren Zielen gibt es genau dann eine optimale Lösung, wenn ein Ziel erreicht wird und alle anderen Ziele dem einen Ziel nicht widersprechen. Das weiß man aber nicht, bevor die Optimierung fertig ist, man muss aber das Modell bauen, bevor man optimieren kann. Lineare Optimierung kennt nur die Formulierung eines Ziels, also muss man bei der Modellierung einen Kompromiss finden. Lies dir mal die Arbeit über Mehrzieloptimierung durch, dann verstehst du, was damit gemeint ist. 3 Ampeln mit je 4 Phasen ergibt 34=12 Variable. (Sind es nun 3 Phasen wie in der Aufgabenstellung oder 4 Phasen wie in deinem Lösungsansatz ???) Erst wenn die Strassenführung inclusive der Ampelstandorte bekannt ist, kann man die Nebenbedingungen für diese Variablen formulieren. Ich bin sicher, dass man die Ampeln über einen zyklischen Zeittakt schalten kann, Zeit_0 bis Zeit_n, so dass tatsächlich 12(n+1) Variable benötigt werden. Du musst nichts von meinen Vorschlägen berücksichtigen, insbesondere musst du nicht die von mir ausgedachten Variablen benutzen. Wenn du etwas besseres weißt, starte damit, dann können wir gerne weiter diskutieren. (Frag bloß nicht den Herrn D., sonst wird deine Arbeit nicht vor 2032 fertig.) Du hast nichts zum Problem der 1650 Autos gesagt, von denen maximal 500 abgefertigt werden können. Was machst du mit dem Riesenstau ? Noch ein Problem aus der Realität des Autofahrens, zu dem du noch nichts gesagt hast: Wie viele Autos pro Sekunde fahren bei GRÜN über die Ampel, wie viele bei GELB_1, wie viele bei ROT, wie viele bei GELB_2 ? Wenn dein Professor dir nur den Rahmen für deine Arbeit vorgibt, musst du ihn mit Fragen löchern. Wenn du das nicht tun möchtest oder er dir nicht antworten möchte, darfst du dir realistische Szenarien ausdenken und diese in der Arbeit als Hypothesen formulieren. Verschiedene Hypothesen führen zu verschiedenen Modellen und Optimierungen, das kann alles sehr viel interessanter sein als nur ein einziges Modell zu bauen. Tipp: Baue den universellen Maut-Ampel Optimierer "uMAO" und verkaufe ihn an Herrn D. (Deine Aufgabe beginnt mir Spaß zu machen, das kann noch höchst interessant werden. Bitte beteilige mich zu 10% am Gewinn des uMAO-Verkaufs. )

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