WK-Verteilung der Summe zweier ZV

28.12.2017, 11:36

Der_Apfel

WK-Verteilung der Summe zweier ZV

Es sind zwei stoch. unabh. ZV X und Y gegeben mit folgenden WK:

$\begin{eqnarray*} X: W_{x_i} = \{0,1\},p_x(x_i) = \{0.2,0.8\}, E[X] = 0.8, Var[X] = 0.16 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y: W_{y_i} = \{1,2\}, p_y(y_i) = \{0.6,0.4\}, E[Y] = 1.4, Var[Y] = 0.24 \end{eqnarray*}$

Nun soll ich die WK-Verteilung von $\begin{eqnarray*} Z = X+Y \end{eqnarray*}$ berechnen, meine Idee war folgender Wertebereich: $\begin{eqnarray*} W_{z_i}=\{1,2,3\} \end{eqnarray*}$ da z.B. die 0 nicht vorkommen kann, da Y immer 1 oder 2 ist. Meine WK-Funktion wäre demnach so: $\begin{eqnarray*} p_z(z_i) = \{\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4}\} \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ kommt nur auf einem Weg vor (0+1), die $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ aber auf 2 Wegen (1+1 oder 0+2), die $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ wieder nur auf einem Weg (1+2). Demnach gilt dann: $\begin{eqnarray*} E[Z] = 2, Var[Z] = 0.5 \end{eqnarray*}$ . Das passt aber nicht mit der Summe von $\begin{eqnarray*} E[X+Y] = 2.2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Var[X+Y] = 0.4 \end{eqnarray*}$ zusammen, wo liegt da mein Fehler?

28.12.2017, 11:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Der_Apfel
Meine WK-Funktion wäre demnach so: $\begin{eqnarray*} p_z(z_i) = \{\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4}\} \end{eqnarray*}$ .

Was für ein demnach soll das denn sein? unglücklich

Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung würde zu $\begin{eqnarray*} p_x(x_i) = \{0.5,0.5\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_y(y_i) = \{0.5,0.5\} \end{eqnarray*}$ passen, aber hier liegt eine andere vor, siehe oben!

Richtig ist

$\begin{align*} P(Z=1) = P(X=0,Y=1) = P(X=0)P(Y=1) = \ldots \end{align*}$

$\begin{align*} P(Z=2) = P(X=0)P(Y=2) + P(X=1)P(Y=1) = \ldots \end{align*}$

usw.

28.12.2017, 11:48

Der_Apfel

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So wie du das hinschreibst, macht das plötzlich alles Sinn, danke smile

$\begin{eqnarray*} P(Z=1) = P(X=0,Y=1) = 0.2 \cdot 0.6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(Z=2) = P(X=0,Y=2) + P(X=1,Y=1) = 0.2 \cdot 0.4 + 0.8 \cdot 0.6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(Z=3) = P(X=1,Y=2) = 0.8 \cdot 0.4 \end{eqnarray*}$

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