Logisches Verständnisproblem

28.12.2017, 12:44

Der_Apfel

Logisches Verständnisproblem

Ich hab ein Verständnisproblem von bedingten Wahrscheinlichkeiten. Bei einer Aufgabe geht es darum, dass Gäste eine Nachspeise wählen, es gibt 3 Nachspeisen (T,E und O). Die bedingten WK lauten: $\begin{eqnarray*} P(T|N) = 0.5, P(E|N) = 0.4, P(O|N) = 0.1 \end{eqnarray*}$ .
Generell ist $\begin{eqnarray*} P(N) = 0.4 \end{eqnarray*}$ . Nun möchte ich gerne $\begin{eqnarray*} P(T) \end{eqnarray*}$ berechnen, mit folgender Formel: $\begin{eqnarray*} P(N|T) = \frac{P(N\cap T)}{P(T)} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} P(N\cap T) = P(T|N) \cdot P(N) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \end{eqnarray*}$ . Wortwörtlich bedeutet $\begin{eqnarray*} P(N|T) \end{eqnarray*}$ doch: "Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast Nachtisch bestellt, wenn er Tiramisu bestellt hat", das ist doch logischerweise 1, oder nicht?

Genaus verhält es sich bei den Vorspeisen in der Aufgabe, es gibt 2 Vorspeisen (S und U).

$\begin{eqnarray*} P(S|V) = 0.7, P(V) = 0.4 \end{eqnarray*}$ . Dann ist doch $\begin{eqnarray*} P(S|\bar{V}) = 0 \end{eqnarray*}$ , oder? Das würde ja wieder heißen: "Die WK, dass ein Gast eine Suppe bestellt, wenn er keine Vorspeise bestellt."

28.12.2017, 13:32

Leopold

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RE: Logisches Verständnisproblem

Zitat:

Original von Der_Apfel
Generell ist $\begin{eqnarray*} P(N) = 0.4 \end{eqnarray*}$ . Nun möchte ich gerne $\begin{eqnarray*} P(T) \end{eqnarray*}$ berechnen, mit folgender Formel: $\begin{eqnarray*} P(N|T) = \frac{P(N\cap T)}{P(T)} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} P(N\cap T) = P(T|N) \cdot P(N) = 0.5 \cdot 0.4 = 0.2 \end{eqnarray*}$ . Wortwörtlich bedeutet $\begin{eqnarray*} P(N|T) \end{eqnarray*}$ doch: "Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Gast Nachtisch bestellt, wenn er Tiramisu bestellt hat", das ist doch logischerweise 1, oder nicht?

Und was verstehst du daran nicht? Wer Tiramisu bestellt hat, hat auch Nachtisch bestellt, daher ist $\begin{align*} T \subseteq N \end{align*}$ und folglich $\begin{align*} N \cap T = T \end{align*}$ .

28.12.2017, 14:01

Der_Apfel

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Ich war mir nur nicht ganz sicher weil das nämlich dazu führt, dass ich ein falsches Ergebnis bekomme:

Eine Teilaufgabe lautet $\begin{eqnarray*} P(S\cap \bar{N}) \end{eqnarray*}$ auszurechnen (also Suppe und keine Nachspeise), laut Aufgabenstellung ist die Wahl der Nachspeise unabhängig von der Wahl der Vorspeise, darf man dann davon ausgehen, dass $\begin{eqnarray*} P(N) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(S) \end{eqnarray*}$ stoch. unabh. sind und somit $\begin{eqnarray*} P(S \cap \bar{N}) = P(S) \cdot P(\bar{N}) \end{eqnarray*}$ gilt?
Es ist gegeben, dass $\begin{eqnarray*} P(N) = 0.4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(S) = P(V) \cdot P(S|V) + P(\bar{V}) \cdot P(S|\bar{V}) \end{eqnarray*}$ Hier wäre wieder der Fall $\begin{eqnarray*} P(S|\bar{V}) = 0 \end{eqnarray*}$ (Also wenn jemand keine Vorspeise nimmt, wie wahrscheinlich ist es, dass er eine Suppe nimmt)?

Demnach ist $\begin{eqnarray*} P(S) = 0.4 \cdot 0.7 + 0 = 0.28 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} P(S\cap \bar{N}) = 0.28 \cdot 0.6 = 0.168 \end{eqnarray*}$ . In der Lösung der Aufgabe (natürlich ohne Lösungsweg) kommen die aber auf genau die Hälfte (also $\begin{eqnarray*} 0.084 \end{eqnarray*}$ ), erkennt da jemand zufällig meinen Fehler?

28.12.2017, 15:24

Leopold

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Auf den ersten Blick kann ich in deinen Rechnungen keinen Fehler entdecken. Möglicherweise sind die Daten der Aufgabe korrupt oder du hast sie falsch abgeschrieben. Du hast in deiner Rechnung drei Faktoren: 0,4 mal 0,7 mal 0,6, das ergibt deine 0,168. Ist auch nur einer dieser Faktoren in Wahrheit halb so groß, so halbiert sich auch das Ergebnis. Vielleicht steckt da irgendwo der Wurm drin.

Könntest du die Aufgabe im Originalwortlaut aufschreiben oder einscannen? Bitte keine Änderungen im Originaltext durchführen.

29.12.2017, 13:01

Der_Apfel

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Der original-Text lautet:

Zitat:

Ein Restaurant bietet einen Mittagstisch an, der durch Salat oder Suppe als Vorspeise und Tiramisu, Eis oder Obstsalat als Nachspeise ergänzt werden kann. Eine Analyse des Bestellverhaltens ergibt, dass 40% der Gäste eine Vorspeise und von diesen wiederum 70% Salat bestellen. Von den Gästen, die eine Vorspeise (egal ob Salat oder Suppe) wünschen, bestellen 70% auch eine Nachspeise, während von den übrigen Gästen nur 20% eine Nachspeise ordern. Die Wahl der Nachspeise ist unabhängig vom Bestellverhalten bei der Vorspeise und fällt zu 50% auf Tiramisu, zu 40% auf Eis und zu 10% auf Obstsalat.

29.12.2017, 13:29

Leopold

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Deine Angaben sind widersprüchlich. Im Text steht, daß von den Leuten mit Vorspeise 70 % Salat bestellen (und damit 30 % Suppe). In deiner Rechnung scheint es aber umgekehrt zu sein. Was gilt nun?

30.12.2017, 21:12

Der_Apfel

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So wie es im Text steht, ich hatte das falsch in Erinnerung. Ich soll $\begin{eqnarray*} P(S\cap \bar{N}) \end{eqnarray*}$ berechnen, wobei $\begin{eqnarray*} S = Salat \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N=Nachspeise \end{eqnarray*}$ .

30.12.2017, 21:32

Der_Apfel

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Ich seh da die Lösung nicht bzw. was ich falsch mache, wenn man davon ausgeht, dass $\begin{eqnarray*} P(S) \end{eqnarray*}$ nicht stoch, unab. von $\begin{eqnarray*} P(N) \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre ich so vorgegangen:

$\begin{eqnarray*} P(S\cap \bar{N}) = P(S|\bar{N})\cdot P(\bar{N}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(S) = P(V)\cdot P(S|V) + P(\bar{V})\cdot P(S|\bar{V}) \Leftrightarrow P(S) = 0.4\cdot 0.7 + 0.6\cdot 0 \Leftrightarrow P(S) = 0.28 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(S) = P(N)\cdot P(S|N) + P(\bar{N})\cdot P(S|\bar{N})\Leftrightarrow 0.28 = 0.4\cdot P(S|N) + 0.6\cdot P(S|\bar{N}) \end{eqnarray*}$

Und da komm ich dann nicht mehr weiter...

31.12.2017, 08:56

Leopold

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[attach]46148[/attach]

Und? Was gibt's heute abend? Suppe und Eis? Oder doch besser Fondue und Sekt? ALLES GUTE ZUM NEUEN JAHR!

31.12.2017, 15:02

Der_Apfel

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Wie kommt man da drauf?

$\begin{eqnarray*} P(S\cap \bar{N}) = P(V)\cdot P(S|V) \cdot P(\bar{N}|S\cap V) \end{eqnarray*}$ . Anscheinend kann man die Bayes-Formel nicht anwenden sondern muss sich das logisch überlegen, aber wenn ich drüber nach denke, macht das für mich keinen Sinn.

$\begin{eqnarray*} P(V)\cdot P(S|V) = P(S\cap V) = P(S) = 0.28 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(\bar{N}|S) = \frac{P(N\cap S)}{P(S)} \end{eqnarray*}$

Wie kommst du da drauf, dass $\begin{eqnarray*} P(\bar{N}|S) = 0.3 \end{eqnarray*}$ ?

02.01.2018, 11:18

Leopold

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Zitat:

Original von Der_Apfel
$\begin{eqnarray*} P(\bar{N}|S) = \frac{P(\color{red} N \color{black} \cap S)}{P(S)} \end{eqnarray*}$

Wohl ein Schreibfehler.

Zitat:

Original von Der_Apfel
Wie kommst du da drauf, dass $\begin{eqnarray*} P(\bar{N}|S) = 0.3 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Der_Apfel

Zitat:

... Von den Gästen, die eine Vorspeise (egal ob Salat oder Suppe) wünschen, bestellen 70% auch eine Nachspeise ...

Damit bestellen von diesen Gästen 30 % keine Nachspeise. Das "egal ob" interpretiere ich als Unabhängigkeit davon, ob Salat oder Suppe bestellt wurde (am Baum heißt das, daß von $\begin{align*} S \end{align*}$ und $\begin{align*} \bar{S} \end{align*}$ dieselben Wahrscheinlichkeiten weggehen). Das ist in der Aufgabe nicht eindeutig formuliert.

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