badische Entwicklung

28.12.2017, 14:39	mathe456	Auf diesen Beitrag antworten »
badische Entwicklung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} b \in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \ge 2 \end{eqnarray}$ . reelle Zahlen haben dann genau die Form $\begin{eqnarray} x= \pm \sum_{i=N}^{\infty} a_ib^{-i} := \lim_{n \to \infty} \pm \sum_{i=N}^{n} a_ib^{-i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} N \in \mathbb Z,a_i \in \left\{0,1,..,b-1\right\} \end{eqnarray}$ Hi leute, ich verstehe einen beweis aus dem Skript nicht und es geht um die Richtung,dass man eine rationale als reelle Zahl darstellen kann. $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und ohne Einschränkung $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ .Nun wählt man $\begin{eqnarray} N \in \mathbb Z \end{eqnarray}$ minimal mit $\begin{eqnarray} b^{N}x\ge 1 \end{eqnarray}$ .Weil $\begin{eqnarray} (b^n)_n \end{eqnarray}$ unbeschränkt und monoton wachsend ist,ist $\begin{eqnarray} M:=\left\{n\in \mathbb Z;b^nx\ge 1\right\}\neq \emptyset \end{eqnarray}$ .Definiere $\begin{eqnarray} N:=min(M) \end{eqnarray}$ ,dann gilt $\begin{eqnarray} b^{N-1}<1 \Leftrightarrow bb^{N-1}<b \end{eqnarray}$ ,also $\begin{eqnarray} 1\le b^Nx<b \end{eqnarray}$ ,dann definiere $\begin{eqnarray} a_N:=[b^nx]\in \left\{0,1,..,b-1\right\} \end{eqnarray}$ ,damit gilt $\begin{eqnarray} 0\le b^Nx-a_N<1 \end{eqnarray}$ ,(da $\begin{eqnarray} a_N<g^Nx) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} 0 \le x-a_Nb^{-N}<b^{-N} \end{eqnarray}$ .Sind $\begin{eqnarray} a_N,...,a_r \end{eqnarray}$ auf diese Weise bereits konstruiert mit $\begin{eqnarray} 0\le y:=x-\sum_{i=N}^{r} a_ib^{-i}<b^{-r} \end{eqnarray}$ ,so sei der $\begin{eqnarray} r+1 \end{eqnarray}$ te Koeffizient. $\begin{eqnarray} a_{r+1}:=[b^{r+1}y]\in \left\{0,1,..,b-1\right\},also 0 \le b^{r+1}y-a_{r+1}<1 \Leftrightarrow 0 \le y-a_{r+1}b^{-(r+1)}< b^{-(r+1)} \end{eqnarray}$ Damit worde also $\begin{eqnarray} \|x-\sum_{i=N}^{n} a_ib^{-i}\|<b^{-n} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Meine Frage sind: wieso wählt man das erstens so "...minimal mit $\begin{eqnarray} b^{N}x\ge 1 \end{eqnarray}$ .."?? 2." $\begin{eqnarray} b^{N-1}<1 \end{eqnarray}$ " ,ich verstehe auch nicht wie man das hier herleiten kann. und zu guter letzt wieso definiert man sich dann die Folge $\begin{eqnarray} a_N:=[b^nx] \end{eqnarray*}$ grob gesagt ich hab die Gedanken hinter dem Beweis noch gar nicht so verstanden bitte helft mir..:/ liebe grüße

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