Ziehen mit Zurücklegen

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forbin Auf diesen Beitrag antworten »
Ziehen mit Zurücklegen
Hallo Leute,

ich hänge an folgender Aufgabe:
Zitat:
In einer Urne befinden sich 16 Kugeln, nämlich je 4 rote, gelbe, grüne und blaue Kugeln. Es wird sieben Mal mit Zurücklegen gezogen (jeweils eine Kugel).
(a) Geben Sie ein geeignetes Modell zur Beschreibung des Experiments an;
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den gezogenen Kugeln jede der vier Farben mindestens einmal vorkommt.


Es steht ja nun nichts über die Reihenfolge dabei. Ich unterstelle, dass diese nicht betrachtet wird.
(Leider bekomme ich den Hashtag # für die Mächtigkeit nicht hin. Auch nicht mit \#. Wie geht das? )

Ich bin mir gerade total unsicher, deshalb würde ich gerne erstmal die a) vorstellen:

a)

Damit ist die Mächtigkeit von

Ich bin gerade absolut raus. unglücklich
Ist das so richtig?


b)
Sei das Ereignis .
Dann ist
Nun betrachte ich die Ereignisse
Dann gilt nach Siebformel:


Es gibt Möglichkeiten, dass 1 Farbe fehlt, Möglichkeiten, dass zwei fehlen und dafür, dass drei fehlen.

Leider macht es mich völlig unsicher, dass es Möglichkeiten gibt, dass alle vier Farben fehlen.
Denn der Ausdruck ist ja nicht definiert. Mir wäre ein Ausdruck der mir "0" liefert viel lieber verwirrt
G281217 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ziehen mit Zurücklegen
a) Weil zurückgelegt wird, liegt Binomialverteilung vor.

b) Verwende das Gegenereignis (eine bestimmte Farbe kommt nicht vor)
forbin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ziehen mit Zurücklegen
Zitat:
Original von G281217
a) Weil zurückgelegt wird, liegt Binomialverteilung vor.

b) Verwende das Gegenereignis (eine bestimmte Farbe kommt nicht vor)


Sorry, habe während du geantwortet hast den EIngangspost doch verlängert Augenzwinkern
forbin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ziehen mit Zurücklegen
Zitat:
Original von G281217
a) Weil zurückgelegt wird, liegt Binomialverteilung vor.

b) Verwende das Gegenereignis (eine bestimmte Farbe kommt nicht vor)


Die b) habe ich ja so gemacht.
Aber auf Binomialverteilung bin ich leider nicht gekommen unglücklich
Ich kann es auch gerade nicht nachvollziehen ehrlich gesagt. Ich habe ja einen der vier Fälle genommen.
G281217 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ziehen mit Zurücklegen
Die WKT, eine bestimmte Farbe zu ziehen ändert sich nicht bei jedem Zug.
Sie liegt immer bei 4/16 = 1/4.
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Klar, dass sehe ich ein.
Aber ändert dass die b) ?
Ich meine, dort habe ich ja erstmal nur die Anzahl der günstigen Möglichkeiten berechnet.
 
 
G281217 Auf diesen Beitrag antworten »

Überleg dir z.B. die WKT, 7mal hintereinander "keinmal" rot zu ziehen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo zusammen,

ich muss leider ausdrücklich widersprechen, was die Vermutung angeht, in (a) handele es sich um eine Binomialverteilung. Es kann, muss aber nicht - je nachdem, an welchen Ergebnissen des Experiments man interessiert ist. Wenn man zB der Frage nachgeht, wie wahrscheinlich es ist, bei 7-maligem Ziehen (mindestens / höchstens / genau) 4-mal Rot zu ziehen, dann ist eine Binomialverteilung angemessen, da die Durchführungen des Versuchs unabhängig voneinander sind und genau zwei Ergebnisse herauskommen können (!). Wenn einen aber interessiert, wie wahrscheinlich es ist, dass jede Farbe mindestens 1x vorkommt, dann riecht das für mich eher nach einer Multinomialverteilung.

Demnach dürfte hier sein. Zwar unterscheidet diese Setzung in Form geordneter Septupel zunächst mal - entgegen dem von dir eigentlich sinnvoll gewählten Ansatz - die Reihenfolge; der Vorteil ist aber, dass mit dieser Setzung zu einem Laplace-Raum wird, also alle Ergebnisse haben die Wahrscheinlichkeit . Nachher überlegt man sich dann, dass bspw (Ro,Ro,Ro,Ro,Ro,Ge,Gr) und (Gr,Ro,Ge,Ro,Ro,Ro,Ro) im hier zu betrachtenden Experiment das selbe Ergebnis darstellen. Aber im Hintergrund hat man immer noch den Laplace-Raum, der einem einiges vereinfacht.

Falls ihr die Multinomialverteilung noch nicht hattet, geht's evtl. auch irgendwie zu Fuß mit der Siebformel. Aber Multinomialverteilung wäre besser. In dem Fall p_1=...=p_k (=1/k) wie hier ist sie auch noch relativ vertretbar zu benutzen.

LG
sibelius84
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja, man das auch direkt angehen kann. Es geht in der Praxis um einen 4 farbigen Tetraeder der 7 mal geworfen wird. Das ist die Multinomialverteilung.
Die Zälhldichte ist mit ...

die Anzahl der (w,s,r,g) Tupel die keine 0 enthalten müsste doch überschaubar sein..

EDIT: etwas spät aber trotzdem Augenzwinkern
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Puh...
also, Multinomialverteilung hatten wir nicht.
Ich werde mich jetzt aber mal damit beschäftigen, denn das hilft mir sicherlich auch an anderen Stellen.

Nun hat sibelius ja einen anderen Ansatz vorgeschlagen.

Was ist das "Problem" mit dem von mir gewählten Grundraum? Ist es, dass es dabei nicht um einen LaPlace-Raum handelt und ich dahe rmit der Gleichverteilung dort nicht arbeiten kann?

Diese Aufgabe wird bestimmt auf die Siebformel hinauslaufen, allerdings muss es ja ohne Multinomialverteilung gehen, da wir die ja wie gesagt nicht hatten verwirrt
forbin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hole den Thread nochmal raus.
Da wir die Multinomialverteilung nicht hatten, muss es anders gehen. Ich habe also die Siebformel angewandt, habe aber diesmal als Grundraum die Permutationen genommen.


Sei das Ereignis

Sei nun

.

Nach Siebformel gilt dann:


Bei gesamten Möglichkeiten ergibt sich: .

So?
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