Grenzwerte berechnen

29.12.2017, 00:39

Snexx_Math

Grenzwerte berechnen

Abend zusammen,

ich hab noch ein paar Defizite bei Grenzwertberechnungen , die ich gerne aufarbeiten würde:

a)

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2 } \Big( \frac{x^{3}+5x^{2}-22x-56}{4x^{2}+5x-6} \Big) \end{eqnarray*}$

b)
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{k}}{n!} , k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{k}}{b^{n}} , b>1 , k\in\mathbb N \end{eqnarray*}$

zu a) :

Hier weiß ich überhaupt nicht wie man herangeht, kenne nur grenzwertberechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \end{eqnarray*}$

Dennoch habe ich so angefangen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{3}+5x^{2}-22x-56}{4x^{2}+5x-6} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}} = \frac{1+\frac{5}{x}-\frac{22}{x^{2}}-\frac{56}{x^{3}}}{\frac{4}{x}+ \frac{5}{x^{2}}-\frac{6}{x^{3}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2 } \frac{1+\frac{5}{x}-\frac{22}{x^{2}}-\frac{56}{x^{3}}}{\frac{4}{x}+ \frac{5}{x^{2}}-\frac{6}{x^{3}}} \end{eqnarray*}$ Und nun ? wenn ich -2 einsetze mache ich mit $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ einen Fehler also muss man den Grenzwert iwie anders berechnen ...

zu b)

Ich meine, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{k}}{n!} = 0 \end{eqnarray*}$ , meine Begründung dafür wäre nun: $\begin{eqnarray*} \frac{n^{k}}{n!} = \frac{n \cdot n \cdot ... \cdot n (k-mal) }{n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1 (n-Faktoren)} \end{eqnarray*}$ Da n gegen Unendlich geht gibt es weniger "unendliche Faktoren" im Zähler als im Nenner, daher =0

zu c)

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{k}}{b^{n}} = \frac{n \cdot n ... \cdot n (k-mal)}{b \cdot b \cdot ... \cdot b (n-mal)} \end{eqnarray*}$ Da k fest bleibt und n gegen Unendlich geht wird der Nenner immer grüßer als der Zähler daher ist der limes =0.

Danke für jede Antwort ! smile

LG

Snexx_Math

29.12.2017, 09:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Hier weiß ich überhaupt nicht wie man herangeht, kenne nur grenzwertberechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \end{eqnarray*}$

Wirklich?

Da bin ich echt platt. geschockt

Was habt ihr denn in der Schule beim Thema "Grenzwerte" gemacht? Noch nie den Grenzwert des Differentialquotienten für eine Funktion f bestimmt: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -2 } \frac{1+\frac{5}{x}-\frac{22}{x^{2}}-\frac{56}{x^{3}}}{\frac{4}{x}+ \frac{5}{x^{2}}-\frac{6}{x^{3}}} \end{eqnarray*}$ Und nun ? wenn ich -2 einsetze mache ich mit $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ einen Fehler also muss man den Grenzwert iwie anders berechnen ...

Offensichtlich ist -2 Nullstelle von Zähler und Nenner. Du kannst also von den Polynomen in Zähler und Nenner den Faktor (x+2) abspalten.

Zitat:

Original von Snexx_Math
zu b)
Ich meine, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n^{k}}{n!} = 0 \end{eqnarray*}$ , meine Begründung dafür wäre nun: $\begin{eqnarray*} \frac{n^{k}}{n!} = \frac{n \cdot n \cdot ... \cdot n (k-mal) }{n \cdot (n-1) \cdot ... \cdot 1 (n-Faktoren)} \end{eqnarray*}$ Da n gegen Unendlich geht gibt es weniger "unendliche Faktoren" im Zähler als im Nenner, daher =0

Solche Begründungen liebe ich. geschockt

Was sollen denn "unendliche Faktoren" sein? Egal, wie groß n auch ist, ich sehe da immer nur endlich viele Faktoren. Du könntest schauen, ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{n!} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Zitat:

Original von Snexx_Math
zu c)

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{k}}{b^{n}} = \frac{n \cdot n ... \cdot n (k-mal)}{b \cdot b \cdot ... \cdot b (n-mal)} \end{eqnarray*}$ Da k fest bleibt und n gegen Unendlich geht wird der Nenner immer grüßer als der Zähler daher ist der limes =0.

Was soll das für eine Begründung sein? Welchen mathematischen Sachverhalt willst du da nutzen? Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2x+1} \end{eqnarray*}$ ist auch der Nenner immer größer als der Zähler und obendrein wird auch die Differenz "Nenner - Zähler" immer größer. Trotzdem ist der Grenzwert nicht Null, sondern 1/2. Auch hier würde ich die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{b^n} \end{eqnarray*}$ untersuchen.

29.12.2017, 14:10

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen

Zitat:

Wirklich? verwirrt Da bin ich echt platt. geschockt Was habt ihr denn in der Schule beim Thema "Grenzwerte" gemacht? Noch nie den Grenzwert des Differentialquotienten für eine Funktion f bestimmt: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ ?

Doch schon, erinnere mich jetzt auch, dass man dann den Bruch so umgeformt hat, dass man nicht mehr durch 0 teilte, aber frage mich wie man das nochmal gemacht hat und wie es jetzt hier geht. Wie spalte ich denn (x+2) ab ? Ein bisschen Starthilfe wäre nett smile

Zitat:

Du könntest schauen, ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{n!} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{n!} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen e meine ich. Und da die Reihe konvergiert muss die Folge gegen 0 konvergieren. Richtig ?

Zitat:

Auch hier würde ich die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{b^n} \end{eqnarray*}$ untersuchen.

Hier wirds für mich schon schwerer, denn dies ist mir eine unbekannte Reihe.

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k}}{b^{n}} \end{eqnarray*}$ Hmm... finde iwie keinen Ansatz zu zeigen , dass diese Reihe konvergiert. HILFE !! unglücklich

29.12.2017, 14:20

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Wie spalte ich denn (x+2) ab ? Ein bisschen Starthilfe wäre nett smile

Nun ja, man macht eine Polynomdivision (4x² + 5x - 6) : (x + 2) . Augenzwinkern

Zitat:

Original von Snexx_Math
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{n!} \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen e meine ich. Und da die Reihe konvergiert muss die Folge gegen 0 konvergieren. Richtig ?

Nun ja, nicht direkt gegen e, aber gegen einen endlichen Wert, der irgendwie mit e zu tun hat. Vielleicht solltest du da doch besser nach einem Konvergenzkriterium Ausschau halten. smile

Zitat:

Original von Snexx_Math
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k}}{b^{n}} \end{eqnarray*}$ Hmm... finde iwie keinen Ansatz zu zeigen , dass diese Reihe konvergiert. HILFE !! unglücklich

Nun ja, es gibt ja Konvergenzkriterien für Reihen. Da wirst du sicherlich etwas passendes finden. smile

29.12.2017, 15:41

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen

Zitat:

Nun ja, man macht eine Polynomdivision (4x² + 5x - 6) : (x + 2) .

Gut, das ich auch Polynomdivision nicht in der Schule hatte, aber probieren wir doch mal Big Laugh

(4x² + 5x - 6) : (x + 2) = -4x+3
$\begin{eqnarray*} -4x^{2}-8x \end{eqnarray*}$
------------------------------------
-3x-6
+3x+6
----------
0

Also (-4x+3)(x+2)=4x² + 5x - 6

Und nun ? Jetzt weiß ich : $\begin{eqnarray*} \Big( \frac{x^{3}+5x^{2}-22x-56}{(x+2) \cdot (-4x+3)} \Big) \end{eqnarray*}$ Ich würde jetzt versuchen x+2 zu kürzen , aber brauch ich dann noch eine Polynomdivision für den Zähler ?

Mach ich mal: Die polynomdivision liefert : $\begin{eqnarray*} x^{3}+5x^{2}-22x-56 = (x+2)(-x^{2}-3x+28 ) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun x+2 kürze und jetzt -2 einsetze komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{30}{11} \end{eqnarray*}$ , müsste also konvergieren gegen diese $\begin{eqnarray*} \frac{30}{11} \end{eqnarray*}$

Und zu den beiden Reihen stehe ich echt extrem auf dem Schlauch, bin alle möglichen Konvergenzkriterien durchgegangen aber mir sagt keine zu (Vergleichskriterium , Quotienten - und Wurzelkriterium , Leibniz )

30.12.2017, 14:22

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Also (-4x+3)(x+2)=4x² + 5x - 6

Wie man leicht nachrechnet ist das falsch. Richtig ist: (4x-3)(x+2) = 4x² + 5x - 6 smile

Zitat:

Original von Snexx_Math
Mach ich mal: Die polynomdivision liefert : $\begin{eqnarray*} x^{3}+5x^{2}-22x-56 = (x+2)(-x^{2}-3x+28 ) \end{eqnarray*}$

Auch hier machst du einen Vorzeichenfehler wie vorher auch. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} x^3 + 5x^2 - 22x - 56 = (x+2)(x^2 + 3x - 28) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Snexx_Math
Und zu den beiden Reihen stehe ich echt extrem auf dem Schlauch, bin alle möglichen Konvergenzkriterien durchgegangen aber mir sagt keine zu (Vergleichskriterium , Quotienten - und Wurzelkriterium , Leibniz )

Bei b würde ich das Quotientenkriterium nehmen, bei c auch das Quotientenkriterium oder das Wurzelkriterium. smile

01.01.2018, 13:55

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen
Also ich habe mich jetzt mal mit der Konvergenz der Reihen beschäftigt:
Habe bei beiden das Quotientenkriterium angewandt, aber komme bei beiden auf =0 was ja keine Konvergenz liefert, denn es muss ein wert x mit 0<x<1 herauskommen.

Aber ich leg mal offen was ich gemacht habe:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{n!} : \frac{n^k}{n!} = \frac{\frac{(n+1)^{k}}{(n+1)!}}{\frac{n^{k}}{n!}} = \frac{(n+1)^{k} \cdot n!}{(n+1)! \cdot n^{k}} = \frac{(n+1)^{k}}{(n+1) \cdot n^{k}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot ... \cdot \frac{n+1}{n} [k-mal : \frac{n+1}{n} ] \Rightarrow ( n \rightarrow \infty) = 0 \cdot 1 \cdot 1 ... \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Die zweite Reihe sieht ähnlich aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k}}{b^{n}} : \frac{\frac{(n+1)^{k}}{b^{n+1}}}{\frac{n^{k}}{b^{n}}} = \frac{(n+1)^{k} \cdot b^{n}}{b^{n+1} \cdot n^{k}} = \frac{(n+1)^{k}}{b^{n} \cdot n^{k}} = \frac{1}{b^{n}} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot ... \cdot \frac{n+1}{n} [k-mal : \frac{n+1}{n}] \Rightarrow (n \rightarrow \infty) = 0 \cdot 1\cdot 1 \cdot ... \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

02.01.2018, 09:34

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Also ich habe mich jetzt mal mit der Konvergenz der Reihen beschäftigt:
Habe bei beiden das Quotientenkriterium angewandt, aber komme bei beiden auf =0 was ja keine Konvergenz liefert, denn es muss ein wert x mit 0<x<1 herauskommen.

Deine Beschäftigung mit dem Kriterium war leider nicht intensiv genug. Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ gegen einen Wert q konvergiert, der echt kleiner als 1 ist.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^k}{n!} : \frac{n^k}{n!} = \frac{\frac{(n+1)^{k}}{(n+1)!}}{\frac{n^{k}}{n!}} = \frac{(n+1)^{k} \cdot n!}{(n+1)! \cdot n^{k}} = \frac{(n+1)^{k}}{(n+1) \cdot n^{k}} = \frac{1}{n+1} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot ... \cdot \frac{n+1}{n} [k-mal : \frac{n+1}{n} ] \Rightarrow ( n \rightarrow \infty) = 0 \cdot 1 \cdot 1 ... \cdot 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Nun ja. Am Anfang solle es erst mal $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| = \frac{\frac{(n+1)^{k}}{(n+1)!}}{\frac{n^{k}}{n!}} \end{eqnarray*}$ lauten. Und $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)^k}{n^k} \end{eqnarray*}$ in k Faktoren auszudröseln, kann man vielleicht in der Schule machen. In der Hochschule machen wir daraus ein $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n+1}{n} \right)^k \end{eqnarray*}$ und sehen, daß der Bruch gegen 1 konvergiert. Der Gesamt-Grenzwert Null besagt, daß also das Quotientenkriterium erfüllt ist.

Zitat:

Original von Snexx_Math
Die zweite Reihe sieht ähnlich aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{k}}{b^{n}} : \frac{\frac{(n+1)^{k}}{b^{n+1}}}{\frac{n^{k}}{b^{n}}} = \frac{(n+1)^{k} \cdot b^{n}}{b^{n+1} \cdot n^{k}} = \frac{(n+1)^{k}}{b^{n} \cdot n^{k}} \end{eqnarray*}$

Hier ist bei dem Kürzen von b^n etwas schief gegangen. Der Grenzwert ist dann auch nicht Null. smile

02.01.2018, 15:40

Snexx_Math

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Grenzwerte berechnen
Erstmal danke für die tollen Antworten smile

Zum Quotientenkriterium : Ja klar stimmt , 0 ist auch in Ordnung Augenzwinkern

kleine Wdh. Wird nicht schaden smile

Zur ersten Reihe : konvergiert nun also.

Zur zweiten Reihe: konvergiert auch da : der grenzwert analog zur ersten Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ ist und da b>1 ist dieser wert kleiner 1 , somit konvergiert auch die zweite Reihe Augenzwinkern

Danke für alles und ich wünsche ein schöne Woche Augenzwinkern

LG

Snexx_Math

Neue Frage »

Antworten »

Grenzwerte berechnen

Verwandte Themen