Konvergenz einer Reihe

29.12.2017, 00:50

Snexx_Math

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Konvergenz einer Reihe

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe bei der ich erfragen möchte , ob meine Lösung richtig ist:

Für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} x=0 \vee ( 0\leq x < 1) \vee k<0 \end{eqnarray*}$

Danke für jede Antwort

LG

Snexx_Math

29.12.2017, 09:02

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Snexx_Math
Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} x=0 \vee ( 0\leq x < 1) \vee k<0 \end{eqnarray*}$

Hier ist die Angabe x=0 obsolet, da dies ja auch mit $\begin{eqnarray*} 0 \leq x < 1 \end{eqnarray*}$ abgedeckt ist.

Natürlich benötigst du eine Begründung. Auch z.B. dafür, warum sowohl für negative x, als auch für positive k keine Konvergenz vorliegt.

29.12.2017, 13:59

Snexx_Math

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RE: Konvergenz einer Reihe
Dann würde ich mal folgend loslegen:

Konvergenz, wenn:
1. $\begin{eqnarray*} |x| <1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } ( n^{k} \cdot x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } (n^{k} ) \cdot \lim_{n \to\infty } (x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } (n^{k} ) \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } ( n^{k} \cdot x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } ( \frac{1}{n^{-k}} \cdot x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } ( \frac{1}{n^{-k}} ) \cdot \lim_{n \to\infty } ( x^{n} ) = 0 \cdot \lim_{n \to\infty } ( x^{n} ) = 0 \end{eqnarray*}$

Divergenz, wenn:
1. $\begin{eqnarray*} (x<-1 \vee x>1) \wedge (k\geq 0) \Rightarrow \lim_{x \to\infty } x = \infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge \lim_{n \to\infty } n^{k} = \infty \end{eqnarray*}$

29.12.2017, 14:13

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe

Zitat:

Original von Snexx_Math
Konvergenz, wenn:
1. $\begin{eqnarray*} |x| <1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } ( n^{k} \cdot x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } (n^{k} ) \cdot \lim_{n \to\infty } (x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } (n^{k} ) \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} k<0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to\infty } ( n^{k} \cdot x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } ( \frac{1}{n^{-k}} \cdot x^{n} ) = \lim_{n \to\infty } ( \frac{1}{n^{-k}} ) \cdot \lim_{n \to\infty } ( x^{n} ) = 0 \cdot \lim_{n \to\infty } ( x^{n} ) = 0 \end{eqnarray*}$

Leider ist das formaler Unfug und (wenn es denn korrekt aufgeschrieben ist) zeigt das auch nur die notwendige Voraussetzung, daß die Summanden gegen Null konvergieren, aber nicht, daß die Reihe konvergiert.

Nach deiner Logik müßte auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} n \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = \lim_{n \to \infty} n \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ sein. In Wirklichkeit ist aber der Grenzwert gleich 1. smile

smile

Zitat:

Original von Snexx_Math
Divergenz, wenn:
1. $\begin{eqnarray*} (x<-1 \vee x>1) \wedge (k\geq 0) \Rightarrow \lim_{x \to\infty } x = \infty \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \wedge \lim_{n \to\infty } n^{k} = \infty \end{eqnarray*}$

So ganz paßt das nicht für negative x. Und was machst du, wenn k negativ ist?

05.01.2018, 14:48

Snexx_Math

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RE: Konvergenz einer Reihe
Ok jetzt weiß ich garnicht mehr weiter unglücklich

unglücklich

Könnte man die Konvergenz der Reihe mit dem Cauchyprodukt zeigen ?

Wäre es möglich , dass Sie mir ein wenig helfen und den Anfang vorgeben ?

LG

Snexx_Math

05.01.2018, 14:53

klarsoweit

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RE: Konvergenz einer Reihe
Na ja, ich würde auf die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^k \cdot x^n \end{eqnarray*}$ einfach mal ein (gängiges) Konvergenzkriterium loslassen und mal schauen, welche Bedingungen sich daraus für das k bzw. x ergeben. smile

smile

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05.01.2018, 14:54

HAL 9000

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Warum verwendest du nicht die ganz normalen Reihenkonvergenzkriterien wie Quotienten- oder Wurzelkriterium? Das wären doch typischerweise die ersten Anlaufpunkte bei derlei Fragen, oder nicht?

Bzw. damit verwandt: Falls du Kenntnisse zu Potenzreihen hast, da gibt es ja auch entsprechende Formeln zum Konvergenzkreisradius.

EDIT: Upps, etwas spät. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2018, 14:47

Snexx_Math

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RE: Konvergenz einer Reihe
Also wenn ich mal das Leibnizkriterium wähle, welches möglich ist, dann konvergiert die Reihe nur wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} x=-1 \wedge k<0 \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt auch schon über andere Kriterien , wie Majoranten- , Wurzel- und Quotientenkriterium nachgedacht, allerdings helfen diese mir auf den ersten Blick nicht.

Was könnte ich denn noch anwenden ?

LG

Snexx_Math

08.01.2018, 14:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Ich hab jetzt auch schon über andere Kriterien , wie Majoranten- , Wurzel- und Quotientenkriterium nachgedacht, allerdings helfen diese mir auf den ersten Blick nicht.

Das Quotientenkriterium liefert unmittelbar Konvergenz für |x|<1 und Divergenz für |x|>1, ganz egal für welche k. Ob man das nun auf dem "ersten" Blick sieht, ist wohl subjektiv. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Spannend ist somit lediglich noch der Fall |x|=1, also x=1 oder x=-1. Und da gibt es bzgl. der k durchaus Unterschiede, wie du ja bei x=-1 schon festgestellt hast. Da musst du dranbleiben und nachdenken.

08.01.2018, 15:35

Snexx_Math

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Zitat:

Spannend ist somit lediglich noch der Fall |x|=1, also x=1 oder x=-1. Und da gibt es bzgl. der k durchaus Unterschiede, wie du ja bei x=-1 schon festgestellt hast. Da musst du dranbleiben und nachdenken.

Ja dann würde ich mal sagen:

Konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} x=-1 \wedge k<0 \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert nach Leibnizkriterium , da $\begin{eqnarray*} n^{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<0 \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k \leq -2 \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot 1^{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert nach Majorantenkriterium , da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} = n^{k} \end{eqnarray*}$ Majorante zu $\begin{eqnarray*} {n^{k}} \end{eqnarray*}$ ist.

Divergiert, wenn $\begin{eqnarray*} x=-1 \wedge k \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n^{k} \cdot (-1)^{n} = \infty [k>0] \wedge = 1/-1 [k=0] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n^{k} \cdot 1^{n} = \infty [k>0] \wedge = 1 [k=0] \end{eqnarray*}$

08.01.2018, 15:58

HAL 9000

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Ja, stimmt, wenn man mal die eigenwillige Symbolik wohlwollend entziffert hat. Die Divergenz im Fall $\begin{align*} |x|=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} k\geq 0 \end{align*}$ kann man auch kurz und bündig über

$\begin{align*} \left| n^k x^n \right| = n^k \geq 1 \end{align*}$

abfackeln, denn damit ist die notwendige Bedingung (Reihenglieder müssen Nullfolge bilden) bereits verletzt.

Zur vollständigen Diskussion fehlt nur noch die Anmerkung, dass wir für $\begin{align*} x=1,k=-1 \end{align*}$ Divergenz haben (Harmonische Reihe). Denn nicht nachgewiesene Konvergenz wie bei dir oben bedeutet ja noch nicht automatisch auch Divergenz. Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.01.2018, 16:17

Snexx_Math

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Also zum Abschluss:

Für welche $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ konvergiert die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot x^{n} \end{eqnarray*}$

Lösung:

Konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} x=-1 \wedge k<0 \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert nach Leibnizkriterium , da $\begin{eqnarray*} n^{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<0 \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k \leq -2 \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot 1^{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert nach Majorantenkriterium , da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} = n^{k} \end{eqnarray*}$ Majorante zu $\begin{eqnarray*} {n^{k}} \end{eqnarray*}$ ist.

Divergiert, wenn
$\begin{eqnarray*} x=-1 \wedge k \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n^{k} \cdot (-1)^{n} = \infty [k>0] \wedge = 1/-1 [k=0] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |n^{k}\cdot x^{n}|=n^{k} \geq 1 (n \in \mathbb N \setminus \{ 0\}, \ falls \ k>0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k=-1 \end{eqnarray*}$ , da dies die Harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, welche divergiert.

08.01.2018, 16:23

HAL 9000

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Na die "Kleinigkeit"

Zitat:

Original von HAL 9000
Das Quotientenkriterium liefert unmittelbar Konvergenz für |x|<1 und Divergenz für |x|>1, ganz egal für welche k.

würde ich aber besser in der Angabe nicht vergessen. Big Laugh

Big Laugh

08.01.2018, 16:34

Snexx_Math

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ah verdammt vergessen unglücklich

unglücklich

Dann aber jetzt:

Lösung:

Konvergiert, wenn $\begin{eqnarray*} x=-1 \wedge k<0 \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot (-1)^{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert nach Leibnizkriterium , da $\begin{eqnarray*} n^{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k<0 \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k \leq -2 \Rightarrow \sum\limits_{n=0}^{\infty } n^{k} \cdot 1^{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert nach Majorantenkriterium , da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} = n^{k} \end{eqnarray*}$ Majorante zu $\begin{eqnarray*} {n^{k}} \end{eqnarray*}$ ist.
Das Quotientenkriterium liefert unmittelbar Konvergenz für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ , k ist dabei bel.. Denn $\begin{eqnarray*} \Bigg|\frac{(n+1)^{k}\cdot x^{n+1}}{n^{k}\cdot x^{n}}\Bigg| = \Bigg|\frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot ... \cdot \frac{n+1}{n} (k-mal) \cdot x\Bigg| = \lim_{n \to \infty } \Bigg|\frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+1}{n} \cdot ... \cdot \frac{n+1}{n} (k-mal) \cdot x\Bigg| = 1 \cdot 1 \cdot ... \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Divergiert, wenn
$\begin{eqnarray*} x=-1 \wedge k \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n^{k} \cdot (-1)^{n} = \infty [k>0] \wedge = 1/-1 [k=0] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} |n^{k}\cdot x^{n}|=n^{k} \geq 1 (n \in \mathbb N \setminus \{ 0\}, \ falls \ k>0 \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} x=1 \wedge k=-1 \end{eqnarray*}$ , da dies die Harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, welche divergiert.
$\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ , ganz egal für welche k. analog zu $\begin{eqnarray*} |x| <1 \end{eqnarray*}$

08.01.2018, 16:40

HAL 9000

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Zwei Anmerkungen:

1) Für das $\begin{align*} k \end{align*}$ -fache Produkt ein- und desselben Faktors hat man schon vor geraumer Zeit eine vereinfachte Symbolik gefunden: Die Potenz. Big Laugh

Big Laugh

Du hättest also einfach $\begin{align*} \left( \frac{n+1}{n} \right)^k = \left( 1+\frac{1}{n} \right)^k \end{align*}$ schreiben können statt der Pünktchenorgie. Augenzwinkern

Augenzwinkern

2) Wieso $\begin{align*} \cdot 0 = 0 \end{align*}$ am Ende dieser Zeile??? $\begin{align*} x \end{align*}$ ist durchaus nicht Null. unglücklich

unglücklich

Im Existenzfall des Grenzwertes $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ muss dieser kleiner als 1 sein, damit das Quotientenkriterium die Aussage Konvergenz liefert!!!

08.01.2018, 17:10

Snexx_Math

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Ja stimmt

unglücklich

habe an $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ gedacht aber ist ja nur x , daher ist der Grenzwert aber trotzdem <1 und somit ist die Reihe konvergent.

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