Reihe über n*e^(-n)

29.12.2017, 01:25	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
*Reihe über ne^(-n)** Hallo zusammen, ich wüsste gerne, warum $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty} n\cdot e^{-n} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} \frac{e}{(e-1)^{2}} \end{eqnarray}$ konvergiert. Die Lösung hat mir Wolframalpha ausgespuckt, ich habe versucht das irgendwie zurückzurechnen, aber das gelang mir nicht. Der Ansatz $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty}n!\frac{e^{-n}}{(n-1)!} \end{eqnarray}$ hat mir leider auch nicht geholfen. Habt ihr einen Tipp für mich?
29.12.2017, 08:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Reihe über ne^(-n)** Es hat kaum was mit $\begin{eqnarray} e \end{eqnarray}$ zu tun. Es ist eine Folgerung der geometrischen Summenformel Wiki. Es gilt für alle $\begin{eqnarray} \|q\| < 1 \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty n q^n = \frac q { (1 - q)^2} \end{eqnarray}$ . Alternativ zum Beweis auf Wikipedia folgt es ebenfalls direkt aus dem Berechnen des Produkts $\begin{eqnarray} \left( \sum_{k=0}^\infty q^k \right)^2 \end{eqnarray}$ .
29.12.2017, 11:49	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool, danke

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