Bruchumwandlung in Hinblick auf Grenzwertberechnung

29.12.2017, 01:28	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Bruchumwandlung in Hinblick auf Grenzwertberechnung Hallo zusammen, ich möchte folgenden Grenzwert berechnen, allerdings hapert es bei der Umformung des Bruches, um die Rechenregeln für konvergente Folgen zu benutzen, bräuchte da mal ein wenig Hilfe: Es geht um: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \frac{(x+7)^{2} \cdot \sqrt{x+2} }{7x^{2} \cdot \sqrt{x} - 2x \cdot \sqrt{x} } \end{eqnarray}$ Mein Ansatz zur Umformung bis jetzt: $\begin{eqnarray} \frac{(x+7)^{2} \cdot \sqrt{x+2} }{7x^{2} \cdot \sqrt{x} - 2x \cdot \sqrt{x} } = \frac{ (x^{2}+ 14x +49) \cdot \sqrt{x+2} }{7x^{2} \cdot \sqrt{x} - 2x \cdot \sqrt{x} } = \frac{ (x^{2}+ 14x +49) \cdot \sqrt{x+2} }{7x^{2} \cdot \sqrt{x} - 2x \cdot \sqrt{x} } \cdot \frac{\frac{1}{7x}}{\frac{1}{7x}} = \frac{ (\frac{x}{7}+ 2 + \frac{7}{x}) \cdot \sqrt{x+2} }{x \cdot \sqrt{x} - \frac{2}{7} \cdot \sqrt{x} } <br /> = \frac{ (\frac{x}{7}+ 2 + \frac{7}{x}) \cdot \sqrt{x+2} }{\sqrt{x} \cdot (x-\frac{2}{7}) } = \frac{ (\frac{x}{7}+ 2 + \frac{7}{x}) \cdot \sqrt{x \cdot (1+\frac{2}{x})} }{\sqrt{x} \cdot (x-\frac{2}{7}) } = \frac{ (\frac{x}{7}+ 2 + \frac{7}{x}) \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{ (1+\frac{2}{x}) } }{\sqrt{x} \cdot (x-\frac{2}{7}) } = \frac{ (\frac{x}{7}+ 2 + \frac{7}{x}) \cdot \sqrt{ (1+\frac{2}{x}) } }{ (x-\frac{2}{7}) }<br /> = \frac{ (\frac{x}{7}+ 2 + \frac{7}{x}) \cdot \sqrt{ (1+\frac{2}{x}) } }{ (x-\frac{2}{7}) } \cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} = \frac{ (\frac{1}{7}+ \frac{2}{x} + \frac{7}{x^{2}}) \cdot \sqrt{ (1+\frac{2}{x}) } }{ (1-\frac{2}{7x}) } \rightarrow (\lim_{x \to \infty }) \rightarrow \frac{\frac{1}{7}}{1} = \frac{1}{7} \end{eqnarray}$ So stimmig ? oder Einwände ? LG Snexx_Math
29.12.2017, 09:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruchumwandlung in Hinblick auf Grenzwertberechnung Die Rechnung und das Ergebnis sind korrekt. Etwas einfacher wird das ganze, wenn du nur einmal mit dem Faktor $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^{5/2}} \end{eqnarray}$ erweiterst.
29.12.2017, 13:45	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruchumwandlung in Hinblick auf Grenzwertberechnung Also meinen Sie erweitern mit : $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{x^{5}}} \end{eqnarray}$ ?
29.12.2017, 14:01	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruchumwandlung in Hinblick auf Grenzwertberechnung Ja, das ist das gleiche in grün. Alternativ ginge auch $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2 \cdot \sqrt x} \end{eqnarray}$ .
29.12.2017, 14:13	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bruchumwandlung in Hinblick auf Grenzwertberechnung Ok danke ! Schönes Wochenende

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