Gleichmäßige Stetigkeit beweisen

29.12.2017, 14:36

Snexx_Math

Gleichmäßige Stetigkeit beweisen

Hallo zusammen,

es geht um folgende Aufgabe:

Zeigen Sie die gleichmäßige Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f: [0, \infty [ \rightarrow \mathbb R , f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ . Wähle $\begin{eqnarray*} \delta = ... \end{eqnarray*}$ (noch offen) . Seien $\begin{eqnarray*} x,x_o \in [0, \infty [ \end{eqnarray*}$ beliebig mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|< \delta \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| = \Bigg | \frac{ ( \sqrt{x} - \sqrt{x_0} ) \cdot ( \sqrt{x} + \sqrt{x_0} )}{( \sqrt{x} +\sqrt{x_0} )} \Bigg | = \Bigg | \frac{ x -x_0}{( \sqrt{x} +\sqrt{x_0} )} \Bigg | = \frac{| x -x_0 |}{ \sqrt{x} +\sqrt{x_0} } < \frac{ \delta}{ \sqrt{x} +\sqrt{x_0} } \leq ( da \sqrt(x) \geq 0 ) \leq \frac{ \delta}{ \sqrt{x_0} } .... \end{eqnarray*}$ und nun weiß ich nicht, wie ich $\begin{eqnarray*} x_o \end{eqnarray*}$ wegbekomme.

LG

Snexx_Math

29.12.2017, 14:56

klarsoweit

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit beweisen

Zitat:

Original von Snexx_Math
Zeigen Sie die gleichmäßige Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f: [0, \infty [ \rightarrow \mathbb R , f(x) = \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

Ist diese Funktion überhaupt gleichmäßig stetig? verwirrt

29.12.2017, 15:03

Snexx_Math

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit beweisen
Habe ich mir jetzt so gedacht, da ich das schon ziemlich oft gelesen habe. Und die Aufgabe auch so formuliert ist , dass das wahr ist aber man es noch selber beweisen soll.

29.12.2017, 15:07

klarsoweit

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit beweisen
OK, ich halte dagegen. Augenzwinkern

29.12.2017, 15:09

IfindU

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit beweisen
Warum sollte diese Funktion nicht gleichmäßig stetig sein?

Sie ist stetig, damit ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf die kompakte Menge $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig. Auf $\begin{eqnarray*} [1,\infty) \end{eqnarray*}$ ist sie sogar Lipschitz-stetig.

29.12.2017, 15:11

Snexx_Math

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit beweisen
Habe mir gerade den Graphen nochmal angeschaut , denke nun auch, dass diese eher weniger gleichmäßig stetig ist, aber wie beweise ich das jetzt ?

Habe bisher immer nur die normale Stetigkeit einer Funktion bewiesen. Dies tut man ja, indem man eine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ wählt und dann zeigt, dass $\begin{eqnarray*} |f(x) - f(x_0)|< \epsilon \end{eqnarray*}$ . (Wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig und $\begin{eqnarray*} |x-x_0|< \delta \end{eqnarray*}$ ist )

29.12.2017, 15:13

Snexx_Math

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RE: Gleichmäßige Stetigkeit beweisen
@IfindU , Lipschitz-stetig ist mir noch kein Begriff unglücklich

Und es geht ja um die gleichmäßige Stetigkeit auf $\begin{eqnarray*} [0, \infty [ \end{eqnarray*}$

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