Matrizen - Assoziativität, Kommutivität

29.12.2017, 19:48

philk

Matrizen - Assoziativität, Kommutivität

Hallo zusammen,

ich möchte euch über eine Aufgabe fragen:

Aufgabe

Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb Q^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \lambda_A : V \rightarrow V : X \mapsto AX \end{eqnarray*}$

Wie weiß ich, dass

$\begin{eqnarray*} A(X+Y) = AX + AY \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} A(\alpha X)= \alpha(AX) \end{eqnarray*}$ ?

Bei uns wissen wir nicht, ob Matrizen Ringe sind, so ich bin mir nicht sicher was ich an den Gleichungen schreiben muss, um die Gleichungen zu gelten.

29.12.2017, 19:58

forbin

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Du hast ja eine konkrete Form gegeben, nämlich eine 2x2-Matrix.
Schreibe doch drei Stück einmal allgemein hin und rechne die Behauptungen damit durch.

Also diese Form: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

29.12.2017, 22:31

philk

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Ist $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} \\ x_{2,1} & x_{2,2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

29.12.2017, 22:36

philk

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Anmerkung: $\begin{eqnarray*} V = \mathbb Q^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$

30.12.2017, 09:42

Elvis

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Zitat:

Original von philk
Anmerkung: $\begin{eqnarray*} V = \mathbb Q^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$

Jetzt versteht man endlich, was du willst ...

Zitat:

Original von philk
Ist $\begin{eqnarray*} X = \begin{pmatrix} x_{1,1} & x_{1,2} \\ x_{2,1} & x_{2,2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

Ja.

30.12.2017, 11:34

Leopold

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Zitat:

Original von Elvis
Jetzt versteht man endlich, was du willst ...

Sagen wir so: man erahnt es.

Zitat:

Original von philk
Sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb Q^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} \lambda_A : V \rightarrow V : X \mapsto AX \end{eqnarray*}$ ( ... ja, was ist denn mit dieser Abbildung ...)

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