Kongruenz modulo m Beweis

30.12.2017, 14:39

Snexx_Math

Kongruenz modulo m Beweis

Hallo zusammen,

eine kleine Frage.

Ich soll beweisen, dass $\begin{eqnarray*} a \equiv b \quad mod \quad m \wedge c \equiv d \quad mod \quad m \Rightarrow (a+c) \equiv (b+d) \quad mod \quad m \end{eqnarray*}$

Es gilt ja:
$\begin{eqnarray*} a \equiv b \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | |a-b|<br /> c \equiv d \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | |c-d| \end{eqnarray*}$
Dann folgt doch:

$\begin{eqnarray*} m \Big | |a-b| + |c-d| \end{eqnarray*}$ und nun meine Frage , darf ich dies umforme zu : $\begin{eqnarray*} m \Big | |a-b+c-d| \end{eqnarray*}$

30.12.2017, 14:52

forbin

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Hallo,

nein, das geht nicht. Schaue dir dazu die Dreiecksungleichung an.

Du machst es dir aber unnötig schwer, wenn du den Betrag benutzt.
Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} m| a-b \Leftrightarrow m|b-a \end{eqnarray*}$ , von daher probiere es mal ohne den Betrag.

30.12.2017, 14:55

Snexx_Math

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Zitat:

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} m| a-b \Leftrightarrow m|b-a \end{eqnarray*}$ , von daher probiere es mal ohne den Betrag.

Aber wenn man jetzt mal annimmt , dass a>b dann wäre ja b-a < 0 und man kann doch m | x mit x<0 nicht berechnen oder doch ?

30.12.2017, 14:59

forbin

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Doch, das geht.
Denn laut Definition ist eine Zahl a durch eine Zahl b teilbar, wenn es eine ganze Zahl m gibt, so dass: $\begin{eqnarray*} m\cdot b = a \end{eqnarray*}$ ist Augenzwinkern

30.12.2017, 15:04

Snexx_Math

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Oh Ok , das wusste ich nicht.

Aber ehrlich gesagt , versteh ich jetzt nicht mehr wie man vorgehen soll um das Geforderte zu beweisen.

Wo fang ich jetzt an ? Kann ich meine Vorraussetzungen:

Zitat:

Es gilt ja: $\begin{eqnarray*} a \equiv b \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | |a-b|<br /> c \equiv d \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | |c-d| \end{eqnarray*}$ Dann folgt doch: $\begin{eqnarray*} m \Big | |a-b| + |c-d| \end{eqnarray*}$

noch benutzen ?

30.12.2017, 15:27

forbin

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Ja, aber so geschrieben erschweren sie dir den Weg.
Verfolge deinen Ansatz mal komplett ohne Betragsstriche.

31.12.2017, 11:43

Snexx_Math

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Ich weiß warum mich das ohne Betragsstriche direkt zum Erolg des Beweises führt. Ich kann dann ja mit Hilfe des Kommutativgesetzes umstellen und neu klammern (AG).

Aber wie rechtfertige ich jetzt , die Betragsstriche wegfallen zulassen ?!

31.12.2017, 12:59

forbin

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Zitat:

Original von Snexx_Math
Ich weiß warum mich das ohne Betragsstriche direkt zum Erolg des Beweises führt. Ich kann dann ja mit Hilfe des Kommutativgesetzes umstellen und neu klammern (AG).

Darauf wird das Ganze auch hinauslaufen.

Zitat:

Aber wie rechtfertige ich jetzt , die Betragsstriche wegfallen zulassen ?!

Dadurch dass wir die Definition der Teilbarkeit oben wiederholt haben.

31.12.2017, 14:04

Snexx_Math

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Also schreibe ich:

Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} a \equiv b \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | |a-b| \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (nach Def. der Teilbarkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z) : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a \equiv b \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | a-b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c \equiv d \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | |c-d| \end{eqnarray*}$ (nach Def. der Teilbarkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z) : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} c \equiv d \quad mod \quad m \Leftrightarrow m \Big | c-d \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow m \Big | a-b + c-d \Leftrightarrow m \Big | a+c -b-d \Leftrightarrow m \Big | (a+c) - (b+d) \end{eqnarray*}$

Und wiederum wegen der Definition von Teilbarkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} m \Big | |(a+c) - (b+d)| \end{eqnarray*}$

31.12.2017, 15:30

forbin

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So sieht's aus Freude

Nochmal zu deiner Anmerkung:

Zitat:

Und wiederum wegen der Definition von Teilbarkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} m \Big | |(a+c) - (b+d) \end{eqnarray*}$

Nach der Defintion der Teilbarkeit darfst du den Betrag hier ja gerade weglassen Augenzwinkern

Aber das ändert die Tatsache über die richtige Beweisführung hier nicht.

01.01.2018, 13:28

Snexx_Math

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Alles klar. Ich bedanke mich rechtherzlich für die nette Hilfe.

Und wünsche ein frohes neues Jahr Augenzwinkern

LG

Snexx_Math

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