Intervalleinteilung bei Betragsungleichung

30.12.2017, 22:51

Philipp2706

Intervalleinteilung bei Betragsungleichung

Hallo zusammen, smile

ich dachte bisher dass ich ungefähr weiß wie man Ungleichungen löst. Jetzt müssen wir Ungleichungen aber auf eine andere Weise lösen und ich verstehe nur noch Bahnhof traurig

Die Methode stammt aus "Tilo Arens- Mathematik". Ich verstehe diese Darstellung überhaupt nicht.

[attach]46144[/attach]

[attach]46145[/attach]

Diese Aufgabe ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} |x-2| + \frac{2}{x} + |x+2| > 0 \end{eqnarray*}$

Das "Rezept" dazu interpretiere ich folgendermaßen. Es gibt folgende Intervalle
$\begin{eqnarray*} x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x-2 < 0 \Rightarrow x < 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+2 > 0 \Rightarrow x > -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+2 < 0 \Rightarrow x < -2 \end{eqnarray*}$

So ist die Einteilung im Arens:
[attach]46146[/attach]

Ich verstehe nicht wieso die Intervalle durch 0 begrenzt sind. Also z.B. $\begin{eqnarray*} \left [ -2,0 \right [ \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \left [ -2,2 \right [ \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht ist das in der Darstellung oben erklärt, aber die verstehe ich kein Bisschen verwirrt

Kann bitte jemand versuchen mir das zu erklären?

Vielen Dank smile

30.12.2017, 23:21

sibelius84

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Hallo Philipp,

ehrlich gesagt, verstehe ich auch nicht so besonders viel davon, was hier mit "Tilo-Arens-Mathematik" gemeint sein soll bzw. insbesondere, was daran der Vorteil sein soll. Wenn du irgendwelche "reinen" Betragsungleichungen hast, mag das noch irgendwie gehen. Aber ich sehe nicht, wie man graphisch durch Unterteilungen der Zahlengeraden in einer Dimension die von dir gepostete Ungleichung lösen könnte.
Dein Ansatz, die Zahlengerade bei 2 und -2 zu unterteilen und die resultierenden Intervalle zu betrachten, ist in meinen Augen absolut sinnvoll. Die Unterteilung bei 0 könnte evtl. auf der Feststellung beruhen, dass für x>0 die UGL ohnehin offensichtlich erfüllt und nur x<0 überhaupt noch interessant ist.

LG
sibelius84

31.12.2017, 14:48

Philipp2706

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"Tilo-Arens-Mathematik" ist ein Mathebuch aus dem unser Professor viel zitiert.
Vieleicht hat jemand dieses Buch oder hat schon Ungleichungen auf diese Art gerechnet. verwirrt

Ich wünsche allen erstmal einen guten Rutsch Prost

31.12.2017, 15:01

10001000Nick1

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Die Antwort steht doch eigentlich direkt über dem Bild:

Zitat:

Da beim Lösen der Ungleichung vermutlich eine Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ notwendig sein wird, sind auch die Fälle $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ zu unterscheiden.

(Wenn man beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert, dreht sich das Relationszeichen um.)

01.01.2018, 16:18

Philipp2706

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Okay also wenn man als Bedingung noch x > 0 und x <0 dazu nimmt, ergibt es für mich Sinn.

Ich werde nur aus dieser Darstellung nicht schlau.

Was ist zum Beispiel a,x und c? und wieso wird hier nur in 3 Bereiche unterteilt? verwirrt

Kann ich diese Darstellung so verstehen dass die Intervalle gebildet werden durch:

Jeweils für jeden Betrag:
|Betragsterm| >0
|Betragsterm| <0

und

x<0
x>0

?

Also diese Intervalle (auf dem Zahlenstrahl) "verunden", und somit die Intervalle für die Ungleichung erhalten.

01.01.2018, 20:34

original

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Jeweils für jeden Betrag:
|Betragsterm| >0
|Betragsterm| <0 -> unglücklich

.... Nein ! ... Beträge sind NIE negativ

zu deiner Aufgabe:
Diese Aufgabe ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} |x-2| + \frac{2}{x} + |x+2| > 0 \end{eqnarray*}$

Hier kannst du ohne weitere Untersuchung schon mal festhalten:
für alle x>0 steht auf der linken Seite garantiert ein positiver Wert, da Beträge >=0 und 2/x>0 für x>0

also brauchst du nun nur noch die beiden Fälle
-2 <x<0
und x<-2
untersuchen..

und hast dann sofort die Gesamtlösung ->
deine Ungleichung ist erfüllt für alle x< - 1/2 sowie eben für alle x>0

alles klar?
.

02.01.2018, 13:07

Philipp2706

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Klar stimmt Forum Kloppe

ich meinte damit auch eigentlich :

Betragsterm <0 und
Betragsterm >0
also ohne Betragsstriche.

Ich habe den Professor gefragt und er meinte die Darstellung ist etwas ungünstig gewählt und man kann es nicht direkt auf das Beispiel anwenden.

Aber ich denke ich habe es verstanden.. vielen Dank smile

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