Schreibweise Umkehrabb. Vektor

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Mathxyzs Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibweise Umkehrabb. Vektor
Hi Leute,
hab mal eine Frage zur Schreibweise bei der Umkehrabbildung einer Funktion f im R^2: f:[0,1]^2 -> R^2
Darf ich bei der Umkehrabb. für x aus R^2 einfach schreiben f^-1(x)=(f^{-1}_1 (x),f^{-1}_2 (x))^T
als Vektor der Umkehrfktn der Komponenten?
Danke im Voraus für Eure Antworten.
lg
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man ein kompaktes Quadrat bijektiv auf abbilden ? Hast du eine Beispiel für eine solche Funktion ?
 
 
NurEinGast Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:

Da ich vermute, dass du an stetige Abbildungen denkst, wo das natürlich nicht möglich ist, hier ein Beispiel eines solchen 's. Es genügt, eine Bijektion zwischen und anzugeben. Dafür genügt es wiederrum, eine Bijektion zwischen anzugeben und ein Tangensargument zu nutzen.

Die Abbildung kann man beispielsweise wie folgt konstruieren:



Um die Frage zu beantworten:

Eine Abbildung ist ein Tupel an Funktionen . Ist bijektiv, so ist entsprechend ein Tupel an Funktionen .

Es würde also schon aus Definitionsbereichgründen nicht funktionieren, dass , denn die sind, wenn sie denn überhaupt existieren würden, Abbildungen . (In Wirklichkeit sind die nie bijektiv, denn sonst kann nicht bijektiv sein.)

Was man retten kann, ist das Folgende. Es gilt für , dass:

. Es gilt also . Eine analoge Rechnung kann man für auch machen.

Wenn ein Produkt ist, d.h. , mit , kann man also was retten, ansonsten nicht. Das , das ich oben in meinem Beispiel angedeutet habe, ist beispielsweise von dieser Form.
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