Schreibweise Umkehrabb. Vektor

31.12.2017, 13:33	Mathxyzs	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreibweise Umkehrabb. Vektor Hi Leute, hab mal eine Frage zur Schreibweise bei der Umkehrabbildung einer Funktion f im R^2: f:[0,1]^2 -> R^2 Darf ich bei der Umkehrabb. für x aus R^2 einfach schreiben f^-1(x)=(f^{-1}_1 (x),f^{-1}_2 (x))^T als Vektor der Umkehrfktn der Komponenten? Danke im Voraus für Eure Antworten. lg
31.12.2017, 14:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man ein kompaktes Quadrat $\begin{eqnarray} [0,1]^2 \end{eqnarray}$ bijektiv auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ abbilden ? Hast du eine Beispiel für eine solche Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ?
02.01.2018, 19:09	NurEinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis: Da ich vermute, dass du an stetige Abbildungen denkst, wo das natürlich nicht möglich ist, hier ein Beispiel eines solchen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ 's. Es genügt, eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} [0,1] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ anzugeben. Dafür genügt es wiederrum, eine Bijektion zwischen $\begin{eqnarray} g \colon [0,1] \to (0,1) \end{eqnarray}$ anzugeben und ein Tangensargument zu nutzen. Die Abbildung $\begin{eqnarray} g \colon [0,1] \to (0,1) \end{eqnarray}$ kann man beispielsweise wie folgt konstruieren: $\begin{eqnarray} g(x) = \begin{cases}\frac12, & x=0\\ \frac1{2^{n+2}}, & x = \frac1{2^n}, n \in \mathbb N_0\\ x, & \text{sonst.} \end{cases} \end{eqnarray}$ Um die Frage zu beantworten: Eine Abbildung $\begin{eqnarray} f \colon [0,1]^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ ist ein Tupel an Funktionen $\begin{eqnarray} f_1, f_2 \colon [0,1]^2 \to \mathbb R \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ bijektiv, so ist entsprechend $\begin{eqnarray} f^{-1} \colon \mathbb R^2 \to [0,1]^2 \end{eqnarray}$ ein Tupel an Funktionen $\begin{eqnarray} g_1, g_2 \colon \mathbb R^2 \to [0,1] \end{eqnarray}$ . Es würde also schon aus Definitionsbereichgründen nicht funktionieren, dass $\begin{eqnarray} g_i = f_i^{-1} \end{eqnarray}$ , denn die $\begin{eqnarray} f_i^{-1} \end{eqnarray}$ sind, wenn sie denn überhaupt existieren würden, Abbildungen $\begin{eqnarray} f_i^{-1} \colon \mathbb R \to [0,1]^2 \end{eqnarray}$ . (In Wirklichkeit sind die $\begin{eqnarray} f_i \end{eqnarray}$ nie bijektiv, denn sonst kann $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nicht bijektiv sein.) Was man retten kann, ist das Folgende. Es gilt für $\begin{eqnarray} x = (x_1,x_2) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , dass: $\begin{eqnarray} x = (x_1,x_2) =(f \circ f^{-1})(x) = f(g_1(x), g_2(x)) = (f_1(g_1(x)), f_2(g_2(x)), \end{eqnarray}$ . Es gilt also $\begin{eqnarray} f_i(g_i(x)) = x_i \end{eqnarray}$ . Eine analoge Rechnung kann man für $\begin{eqnarray} f^{-1} \circ f \end{eqnarray}$ auch machen. Wenn $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ein Produkt ist, d.h. $\begin{eqnarray} f = h_1 \times h_2 \colon [0,1]^2 \to \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (x_1,x_2) \mapsto (h_1(x_1), h_2(x_2)) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h_i \colon [0,1] \to \mathbb R \end{eqnarray}$ , kann man also was retten, ansonsten nicht. Das $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , das ich oben in meinem Beispiel angedeutet habe, ist beispielsweise von dieser Form.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »