Darstellungsmatrix, Basis, Einheitsmatrix

31.12.2017, 14:42	Louilou	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix, Basis, Einheitsmatrix Meine Frage: Hallo, Sei f:V-->W eine lineare Abbildung zwischen zwei endlich-dimensionalen K-Vektorräumen. Ich suche nach einem Verfahren zwei Basen C und B für V und W zu finden, sodass folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} I_{k} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist gleich der Darstellungsmatrix bezüglich der Basen B und C. Hierbei soll k gleich der Dimension des Bildes von f sein. Meine Ideen: Ich habe schon verschiedene eigene Ansätze getestet, von denen keiner so richtig funktioniert hat. Kann mir aber gut vorstellen, dass das Ganze etwas mit Basiswechselmatrizen zu tun hat. Über schnelle Hilfe würde ich mich sehr freuen
31.12.2017, 17:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm Dir eine beliebige Basis und sortiere sie so, dass die Bilder der ersten k Vektoren linear unabhängig sind. Dann ergänzt Du diese Vektoren durch Vektoren aus dem Kern der Abbildung. Beispiel: $\begin{eqnarray} f(x,y,z)=\begin{pmatrix} x+y-z \\ x-y\\2x-z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit der Standardbasis als Ausgangslage. Es ist $\begin{eqnarray} f(0,0,1)=\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ -1 \end{pmatrix}, f(0,1,0)= \begin{pmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(1,0,0)= \begin{pmatrix} 1\\1\\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Bilder sind linear abhängig und es ist $\begin{eqnarray} dim(kern(f))=1 \end{eqnarray}$ . Wähle demnach die ersten beiden Vektoren für deine Basis und ergänze sie durch einen Vektor aus dem kern (z.B. (1,1,2)). Das Bild von f ergänzt Du beliebig zu einer Basis von W (z.B. (1,0,0)) . Insgesamt erhältst Du $\begin{eqnarray} f(b_1)=c_1, f(b_2)=c_2, f(b_3)=0=0c_1+0c_2+0c_3 \end{eqnarray}$ mit der gewünschten Matrix.

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