Extremwertbestimmung Hesse Matrix

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AvantgardeR Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertbestimmung Hesse Matrix
Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich habe ein Problem mit der Lösung einer Aufgabe, welche lautet:

"Untersuchen Sie die folgende Funktion auf lokale Extrema."



Meine Lösung stimmt leider nicht mit der Musterlösung (im Anhang) überein.

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Herzlichen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
Mein Rechenweg sah folgendermaßen aus:

Schritt 1:

Ableitung der Funktion nach x:



Ableitung der Funktion nach y:



Folglich:


Schritt 2: Gradient gleich Null setzen und auflösen




Es kommt sowie



Die kritischen Stellen sind also

Schritt 3: Berechnung der zweiten Ableitungen:









Schritt 4: Bildung der Hesse Matrix:



Schritt 5: Berechnung der Diskreminanten für P1 und P2 sowie deren erste
Hauptminoren:

1) Für P1:



1ter Hauptminor:

Da und , liegt in P1 ein lokales Maximum vor.

Um den Extremwert zu ermitteln, berechne ich nun

Es kommt raus:

2) Für P2:



1ter Hauptminor:

Da det (H) negativ ist, ist die Matrix indefinit. Folglich liegt hier kein lokales Extremum vor.
komplexer Auf diesen Beitrag antworten »

Wo genau stimmt denn deine Lösung nicht mit der Musterlösung überein?
AvantgardeR Auf diesen Beitrag antworten »

Beim letzten Schritt der Musterlösung (Einsetzen der kritischen Stellen) heißt es:



sowie:



Bei mir dagegen:



und:

bei P2 ist die Hessematrix negativ, woraus ich folgere, dass es kein Extremum gibt.

In der Musterlösung ist der Rechenweg bzw. die Zahlen anders.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AvantgardeR
Schritt 3: Berechnung der zweiten Ableitungen:



Du meinst wohl:

Zitat:
Original von AvantgardeR
Bei mir dagegen:



Nun ja, das ist äquivalent zu (-3) * (-2) > 4 . Augenzwinkern

Zitat:
Original von AvantgardeR
bei P2 ist die Hessematrix negativ, woraus ich folgere, dass es kein Extremum gibt.

Woraus willst du das folgern?

Zitat:
Original von AvantgardeR
In der Musterlösung ist der Rechenweg bzw. die Zahlen anders.

Nun ja, es gibt verschiedene Wege, die Definitheit der Hessematrix zu prüfen. smile
AvantgardeR Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du meinst wohl:


Genau, ich konnte das Zeichen für partielle Ableitung nicht finden.

Zitat:
Nun ja, das ist äquivalent zu (-3) * (-2) > 4 . Augenzwinkern


Aber (-2) * (-3) ist doch nicht äquivalent zu 2? verwirrt

Zitat:
Woraus willst du das folgern?


Aus dem Skript smile Da steht, dass bei einer negativen Determinante einer 2x2 Matrix, jene indefinit wird. Daraus folgt wiederum, dass an der Stelle kein Extremum existiert (siehe Anhang).

Mir geht es vor allem darum, dass, falls in der Klausur andere Zahlen dastehen werden, ich mit dem richtigen Ansatz auf die korrekte Lösung komme.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AvantgardeR
Aus dem Skript smile Da steht, dass bei einer negativen Determinante einer 2x2 Matrix, jene indefinit wird. Daraus folgt wiederum, dass an der Stelle kein Extremum existiert (siehe Anhang).

Ah, es geht um die Determinante der Matrix, nicht um die Matrix als solche. OK, dann bin ich dabei.
 
 
AvantgardeR Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ah, es geht um die Determinante der Matrix, nicht um die Matrix als solche. OK, dann bin ich dabei.


Mein Fehler Finger1


Ist mein Rechenweg denn richtig? Bzw. weshalb unterscheiden sich die beiden Ansätze?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Der Unterschied ist nur marginal. Die Ungleichung hinter der Zeile "Die Bedingung lautet" basiert im Grunde auf der Determinante der Hessematrix. Letztlich geht es immer um die Definitheit der Matrix.
AvantgardeR Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann würde ich bei meiner Vorgehensweise bleiben.

Vielen Dank für die Hilfe!
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