Extremwertbestimmung Hesse Matrix |
01.01.2018, 14:14 | AvantgardeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Extremwertbestimmung Hesse Matrix Hallo zusammen! Ich habe ein Problem mit der Lösung einer Aufgabe, welche lautet: "Untersuchen Sie die folgende Funktion auf lokale Extrema." Meine Lösung stimmt leider nicht mit der Musterlösung (im Anhang) überein. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen. Herzlichen Dank im Voraus! Meine Ideen: Mein Rechenweg sah folgendermaßen aus: Schritt 1: Ableitung der Funktion nach x: Ableitung der Funktion nach y: Folglich: Schritt 2: Gradient gleich Null setzen und auflösen Es kommt sowie Die kritischen Stellen sind also Schritt 3: Berechnung der zweiten Ableitungen: Schritt 4: Bildung der Hesse Matrix: Schritt 5: Berechnung der Diskreminanten für P1 und P2 sowie deren erste Hauptminoren: 1) Für P1: 1ter Hauptminor: Da und , liegt in P1 ein lokales Maximum vor. Um den Extremwert zu ermitteln, berechne ich nun Es kommt raus: 2) Für P2: 1ter Hauptminor: Da det (H) negativ ist, ist die Matrix indefinit. Folglich liegt hier kein lokales Extremum vor. |
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01.01.2018, 16:37 | komplexer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wo genau stimmt denn deine Lösung nicht mit der Musterlösung überein? |
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01.01.2018, 20:34 | AvantgardeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Beim letzten Schritt der Musterlösung (Einsetzen der kritischen Stellen) heißt es: sowie: Bei mir dagegen: und: bei P2 ist die Hessematrix negativ, woraus ich folgere, dass es kein Extremum gibt. In der Musterlösung ist der Rechenweg bzw. die Zahlen anders. |
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02.01.2018, 09:59 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Du meinst wohl:
Nun ja, das ist äquivalent zu (-3) * (-2) > 4 .
Woraus willst du das folgern?
Nun ja, es gibt verschiedene Wege, die Definitheit der Hessematrix zu prüfen. |
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02.01.2018, 10:55 | AvantgardeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Genau, ich konnte das Zeichen für partielle Ableitung nicht finden.
Aber (-2) * (-3) ist doch nicht äquivalent zu 2?
Aus dem Skript Da steht, dass bei einer negativen Determinante einer 2x2 Matrix, jene indefinit wird. Daraus folgt wiederum, dass an der Stelle kein Extremum existiert (siehe Anhang). Mir geht es vor allem darum, dass, falls in der Klausur andere Zahlen dastehen werden, ich mit dem richtigen Ansatz auf die korrekte Lösung komme. |
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02.01.2018, 11:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ah, es geht um die Determinante der Matrix, nicht um die Matrix als solche. OK, dann bin ich dabei. |
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02.01.2018, 11:41 | AvantgardeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mein Fehler Ist mein Rechenweg denn richtig? Bzw. weshalb unterscheiden sich die beiden Ansätze? |
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02.01.2018, 11:50 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Der Unterschied ist nur marginal. Die Ungleichung hinter der Zeile "Die Bedingung lautet" basiert im Grunde auf der Determinante der Hessematrix. Letztlich geht es immer um die Definitheit der Matrix. |
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02.01.2018, 12:06 | AvantgardeR | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Alles klar, dann würde ich bei meiner Vorgehensweise bleiben. Vielen Dank für die Hilfe! |
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