Sinusfunktion und Periode 3pi |
02.01.2018, 09:56 | Kirchi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sinusfunktion und Periode 3pi Für welche ganzen Zahlen n hat die folgende Funktion die Periode 3pi: f(x)=sin(nx)/sin(5x/n)? Meine Ideen: Ich weiß, dass f(x)=f(x+3pi) gelten muss... ich habe dies also verwendet und komme dann durch umschreiben und Additionstheoreme auf folgendes: sin(nx)*sin(5x/n)*cos(15pi/n)+sin(nx)*cos(5x/n)*sin(15pi/n)=sin(nx)*cos(3npi)*sin(5x/n)+cos(nx)*sin(3npi)*sin(5x/n). An diesem Punkt komme ich aber nicht mehr weiter...aus Geogebra kann ich vermuten, dass es bei n=3 und n=15 gilt. Wie könnte ich das dann beweisen? |
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02.01.2018, 10:41 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann dir nicht ganz folgen: Wenn es um sin(nx)/sin(5x/n) geht, warum diskutierst du dann sin(nx)*sin(5x/n)*cos(15pi/n) u.ä. Terme? --------------------- Man könnte so vorgehen: hat die kleinste Periode , d.h., alle Vielfachen davon sind auch Perioden dieser Funktion. Speziell gilt also für gerade die Eigenschaft , während für ungerade dagegen gilt. Für die -Periodizität der Gesamtfunktion bedeutet dies dann an Bedingungen für den Nenner (jeweils für alle ): Im Fall gerade: Im Fall ungerade: . In beiden Fällen kann man sich nun überlegen, welche diese Bedingungen erfüllen.
Die sind richtig, aber es sind längst nicht alle. Auf dem oben vorgezeichneten Weg ergeben sich zusätzlich noch n=1 und n=5, sowie auch die negativen Pendants -1,-3,-5,-15. EDIT (11.01.): Anscheinend verschwunden. |
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