Unterraum

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Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum
Hallo,
ich soll folgendes zeigen:

Gegeben seien zwei lineare Unterräume eines K-Vektorraums V . Man
zeige:
ist ein linearer Unterraum von

Wie ist denn die Idee:
Es gibt ja die 3 UR-Kriterien. Aber wie setze ich diese an?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du weißt, wie die Quotientenräume definiert sind, wirst du keine Probleme mit dem Beweis haben. Dass nichtleer ist, bekommst du fast geschenkt, weil der Nullvektor darin enthalten ist. Du musst nur wissen, was der Nullvektor eines Quotientenraumes ist. Die anderen Kriterien sind genau so billig.
 
 
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Also.

1. , denn

. Damit ist U das Nullelement.

2.Sei dann ist:


da und dieser als VR abgeschlossen ist?
Funktioniert das so?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt machst du das noch für für , und das war's.

Nichtleer geht sogar noch einfacher: . Dass dies der Nullvektor von ist, ist richtig, muss aber nach dem UVR-Kriterium nicht bewiesen werden.

Bei 2. musst du schreiben:
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Also zu 2:


dund W als VR abgeschlossen ist.

3. Sei


denn , da W ein VR ist.

Passt das?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Passt Freude
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Dann geht es weiter mit der Abbildung mit
Dabei soll gezeigt werden, dass diese wohl-definiert, surjektiv und K-linear.

Also erstmal zur Wohldefiniertheit. Dabei ist doch nachzuweisen, dass unabhängig von der Wahl des Repräsentanten giltalso

D.h aber d.h

Sei und

Dann ist,
da es jeweils Repräsentanten der selben Nebenklasse sind.
Funktioniert das so?
Wsl sollte man dies andersrum aufschreiben.
Das mit geht dann ähnlich.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe nicht, wie die Abbildung mit defniert ist. Wenn man von einem Element ausgehend die Restklasse abbilden will, woher kommt dann das ? Außerdem ist kein Element von . So ist die Abbildung nicht definiert, also auch nicht wohldefiniert.

Wohldefiniertheit darf man nicht mit Linearität verwechseln. Eine Abbildung auf einem Quotientenraum ist wohldefiniert, wenn sie nur von der Restklasse abhängt aber nicht vom Vertreter . Es wäre also für eine definierte Abbildung zu zeigen:
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry es ist v statt w unglücklich

Falsch gelesen, dann muss ich nochmal überlegen unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

DAS ist eine definierte Abbildung, aber eben etwas ganz anderes als das, was du geschrieben hast.
Die Zielmenge ist und nicht , und es ist definiert, weil gegeben sind.

Zu zeigen: ist wohldefiniert.
Beweis:
Also qed

Da diese Abbildung nun definiert und als wohldefiniert nachgewiesen ist, darfst du die restlichen Eigenschaften beweisen.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Elvis smile
Da habe ich mich total verlesen .....

Ok muss ich dann noch nachweisen auf gleiche Art: folgt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, ganz und gar nicht, denn das gilt selbstverständlich für eine wohldefinierte Abbildung.

Du willst zeigen, dass linear ist:




Mach dir nichts daraus, Quotientenräume machen am Anfang immer Probleme und verdrehen die Gehirnwindungen ... man gewöhnt sich daran ...
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast Recht. Ich blicke da noch nicht ganz durch.

Ich meine, ob ich auf Wohldefiniertheit der Skalar Multiplikation prüfen muss:

Schau mal hier bitte, z.b unter "Der Faktorraum als Vektorraum":

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Faktorraum
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles gut und schön, aber hier geht es nur um die Eigenschaften der Abbildung a. Ich habe dir geschrieben, was du beweisen sollst. a ist linear (siehe oben) und surjektiv. Das musst du beweisen und sonst nichts.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zu zeigen:

Du willst zeigen, dass linear ist:



Es gilt:





Es gilt:




Damit linear.




Das mit der Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation ist mir noch nicht klar, warum ich das nicht zeigen soll:

Da

Also
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis für die Linearität von a ist okay.
Dass die Addition und die Skalarmultiplikation in Quotientenraeumen wohldefinierte Operationen sind, versteht sich von selbst, sonst wären das keine Vektorraeume. Es hat nichts damit zu tun, daß U ein UVR von W ist.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Der Beweis für die Linearität von a ist okay.

Geht es wohl noch besser smile

Also nützt das nichts, was ich versucht habe zu beweisen. Naja...


Wie kann das mit der Surjektivität machen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie immer. Du nimmst ein beliebiges Element aus dem Bildraum und findest ein Element aus dem Urbildraum, das von a darauf abgebildet wird. Bei dieser Abbildung ist das trivial.

Der Teil c) der Aufgabe ist interessanter und wichtiger.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Nehme ich dann z.b ein dann ist?


Ja Aufgabe c) würde mich auch sehr interessieren, nur das verstehe ich nicht ganz unglücklich
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Siehst du, wenn etwas so einfach geht, dann nennen wir es trivial. Big Laugh

Und jetzt kommt der Hammer, wir wenden das Erlernte aus den Teilen a) und b) an.
Wir wissen, dass ein Untervektorraum ist. Wir wissen, dass eine surjektive lineare Abbildung ist, also ein surjektiver Vektorraum-Homomorphismus.
Wenn wir jetzt noch wüssten (Aufgabe c), dass ist, dann könnten wir den HOMOMORPHIESATZ anwenden, der sagt linear , dann ist .
Und das ist, angewandt auf unser Beispiel, genau der ISOMORPHIESATZ für Quotientenräume, nämlich .
Ein wunderschönes Stückchen Algebra - applaus, applaus - ich bitte um angemessene Begeisterung. smile
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich bin wirklich begeistert smile Freude

In der Aufgabe steht ja, dsss ist. Der ist dabei:

Sei dann muss sein oder? verwirrt verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, aber das ist noch kein Beweis. Die Gleichung ist eine Gleichung für Mengen, diese beweist man wie üblich, indem man und beweist. Die Telimengenrelationen beweist man wie üblich, indem man ein Element der Teilmenge nimmt und beweist, dass es in der Menge liegt. Letztlich ist alles in der Mathematik ein Teil der Mengenlehre und ein Teil der Logik.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut smile
Bevor ich das versuche, würde ich gerne wissen, wie man überhaupt darauf kommt, dass ker a dieser bestimmte Quotientenraum ist. Wie kommt man darauf. Kannst du mir das bitte erklären smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zu allgemeinen Prinzipien der Algebra gehören Homomorphiesätze und Isomorphiesätze. Kerne und Bilder von Homomorphismen sind immer wieder Teilstrukturen von algebraischen Strukturen, und es ist immer wieder (Homomorphiesatz). Bei Gruppen sind Kerne Normalteiler, bei Ringen sind Kerne Ideale, bei Körpern sind Kerne Teilkörper und bei Vektorräumen sind es Untervektorräume. So bekommt man zu gegebenen Strukturen mittels strukturerhaltenden Abbildungen (Homomorphismen) viele interessante Teilstrukturen.

Wie bei Quotientenräumen kann man alle algebraischen Strukturen nach diesen Teilstrukturen faktorisieren, das ist reine Mengenlehre, und diese Faktormengen tragen dann eine kanonische Gruppen-, Ring-, Körper-, Vektorraumstruktur. Die Isomorphiesätze benennen isomorphe Strukturen, ihre Beweise beruhen alle auf den Homomorphiesätzen.

Die Homomorphiesätze und Isomorphiesätze sind im Grunde genommen Ausdruck von Verbandsisomorphismen der Teilstrukturverbände, sie gehören zu den wichtigsten Theoremen der Algebra. Ebenso ist der Hauptsatz der Galoistheorie die grundlegende algebraische Erkenntnis über einen Verbandsantiisomorphismus zwischen Teilkörperverband und Automorphismengruppenverband galoisscher (d.h. normaler und separabler) Körpererweiterungen.

Wie diese algebraischen Theoreme die Theorie von algebraischen Zahlkörpern und algebraischen Funktionenkörpern prägen und aufbauen, ist eine andere Geschichte, die an Eleganz, Schönheit und Weisheit nicht zu überbieten ist.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber wie findet man konkret heraus, wenn man
gegeben hat, dass
so beschaffen ist. Wie geht das formal?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man beweist, dass die beiden Mengen gleich sind, habe ich in meinem vorletzten Beitrag (11:29) sehr genau beschrieben. Dann wolltest du wissen, wie man darauf kommt, das steht in meinem letzten Beitrag (13:53).
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Dann wolltest du wissen, wie man darauf kommt, das steht in meinem letzten Beitrag (13:53).

Das verstehe ich leider nicht. Wie machst du das genau? verwirrt
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du jetzt wissen ? Triviale Mengenlehre :
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein sondern wie man sieht, dass
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so und nicht anders. Links steht eine Menge, rechts steht eine Menge, und es wird behauptet, dass beide Mengen gleich sind.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann probier ich mal den Beweis:

1.

Sei



Funktioniert das ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, offensichtlich ist das falsch. Es ist so einfach, wenn man es nur mengentheoretisch richtig hinschreibt:


(nach Definition von und weil der Nullvektor in ist)


Umgekehrt geht es noch einfacher. Wichtig bei den Beweisen für Mengengleichheit sind die IMPLIKATIONSPFEILE "" . Das ist der Zusammenhang von Mengenlehre und Aussagenlogik. Es kommt auf die richtige Schreibweise an, damit aus einem zusammenhanglosen Geschreibsel eine sinnvolle Aussage wird.

Entschuldigung, ich wollte dich nicht erschrecken. Augenzwinkern

Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis

Entschuldigung, ich wollte dich nicht erschrecken. Augenzwinkern



Ich bin verwirrt unglücklich
Warum schreibst du das jetzt nochmal so hin?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mengenlehre ! Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten (Extensionalitätsprinzip). Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie Teilmengen von einander sind. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn die eine Menge Teilmenge der anderen Menge UND DIE ANDERE MENGE TEILMENGE DER EINEN MENGE IST. Um Mengengleichheit zu beweisen, muss man IMMER zwei Richtungen beweisen.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

waren das dann insgesamt beide Richtungen in deinem gesamten Beitrag?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ja
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis




Dann habe ich noch eine Frage. Warum schreibst du hier v+U=w+U ?
Weil es am Ende was nützt?
Die Gleichung gilt ja, weil man die gleiche Nebenklasse unabhängig von der Wahl des Repräsentanten bekommt.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ein beliebiges Element von nenne ich , ein beliebiges Element von nenne ich . Nach Voraussetzung ist für beliebiges auch , also .

Man kann auch schreiben

Ein Beweis muss nicht immer der kürzeste aller möglichen Beweise sein, er muss nur richtig und vollständig sein und gut erklärt werden.
Melanie233 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Nach Voraussetzung ist für beliebiges auch , also .

Auf welche Voraussetzungen beziehst du dich dabei?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Behauptung:
Beweis: Sei (das ist die Voraussetzung) , dann ist (denn so ist definiert). Wegen nennen wir , also ist . Darauf wenden wir an, dann ist (nach Definition von ). Wegen ist . Weiter ist und der Nullvektor in . Also bildet ein beliebiges Element aus auf den Nullvektor von ab. Das bedeutet (nach Definition des Kerns), dass jedes Element im liegt. qed

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