Unterraum

02.01.2018, 11:40

Melanie233

Unterraum

Hallo,
ich soll folgendes zeigen:

Gegeben seien zwei lineare Unterräume $\begin{eqnarray*} U \subset W \end{eqnarray*}$ eines K-Vektorraums V . Man
zeige:
$\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ ist ein linearer Unterraum von $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$

Wie ist denn die Idee:
Es gibt ja die 3 UR-Kriterien. Aber wie setze ich diese an?

02.01.2018, 11:51

Elvis

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Wenn du weißt, wie die Quotientenräume definiert sind, wirst du keine Probleme mit dem Beweis haben. Dass $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ nichtleer ist, bekommst du fast geschenkt, weil der Nullvektor darin enthalten ist. Du musst nur wissen, was der Nullvektor eines Quotientenraumes ist. Die anderen Kriterien sind genau so billig.

02.01.2018, 13:23

Melanie233

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Also $\begin{eqnarray*} W/U := \{w+U:w \in W\} \end{eqnarray*}$ .

1. $\begin{eqnarray*} W/U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , denn

$\begin{eqnarray*} (w+U) + (0+U)=w+U \end{eqnarray*}$ . Damit ist U das Nullelement.

2.Sei $\begin{eqnarray*} w_1, w_2 \in W/U \end{eqnarray*}$ dann ist:

$\begin{eqnarray*} (w_1+U)+(w_2+U)=(w_1+w_2)+U \in W/U \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} w_1+w_2 \in W \end{eqnarray*}$ und dieser als VR abgeschlossen ist?
Funktioniert das so?

02.01.2018, 14:02

Elvis

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Jetzt machst du das noch für $\begin{eqnarray*} \alpha(w+U) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha\in K, w\in W \end{eqnarray*}$ , und das war's.

Nichtleer geht sogar noch einfacher: $\begin{eqnarray*} U=0+U\in W/U\Rightarrow W/U\ne \emptyset \end{eqnarray*}$ . Dass dies der Nullvektor von $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ ist, ist richtig, muss aber nach dem UVR-Kriterium nicht bewiesen werden.

Bei 2. musst du schreiben: $\begin{eqnarray*} w_1+U,w_2+U\in W/U\Rightarrow ... \end{eqnarray*}$

02.01.2018, 14:16

Melanie233

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Danke. Also zu 2:

$\begin{eqnarray*} w_1+U,w_2+U\in W/U\Rightarrow (w_1+w_2)+U \in W/U \end{eqnarray*}$
d $\begin{eqnarray*} a w_1+w_2 \in W \end{eqnarray*}$ und W als VR abgeschlossen ist.

3. Sei $\begin{eqnarray*} \lambda \in K, w \in W \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda (w+U) \in W/U \Rightarrow \lambda w + U \in W/U \end{eqnarray*}$
denn $\begin{eqnarray*} \lambda w \in W \end{eqnarray*}$ , da W ein VR ist.

Passt das?

02.01.2018, 15:22

Elvis

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Passt

02.01.2018, 15:36

Melanie233

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Danke

Dann geht es weiter mit der Abbildung $\begin{eqnarray*} a:V/U \rightarrow W/U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v+U \rightarrow w+W \end{eqnarray*}$
Dabei soll gezeigt werden, dass diese wohl-definiert, surjektiv und K-linear.

Also erstmal zur Wohldefiniertheit. Dabei ist doch nachzuweisen, dass unabhängig von der Wahl des Repräsentanten gilt $\begin{eqnarray*} a(v_1+U) + a(v_2+U)=a(v_1'+U) + a(v_2'+U) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} w_1 + W+ w_2+W=w_1'+W + w'_2 +W \end{eqnarray*}$

D.h aber $\begin{eqnarray*} (w_1-w'_1)+(w_2-w'_2) + W=W \end{eqnarray*}$ d.h $\begin{eqnarray*} (w_1-w'_1)+(w_2-w'_2) \in W \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} u_1 = w_1-w'_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2=w_2-w'_2 \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \in W \end{eqnarray*}$ ,
da es jeweils Repräsentanten der selben Nebenklasse sind.
Funktioniert das so?
Wsl sollte man dies andersrum aufschreiben.
Das mit $\begin{eqnarray*} a(\lambda v + U) \end{eqnarray*}$ geht dann ähnlich.

02.01.2018, 18:10

Elvis

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Ich sehe nicht, wie die Abbildung $\begin{eqnarray*} a:V/U \rightarrow W/U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v+U \rightarrow w+W \end{eqnarray*}$ defniert ist. Wenn man von einem Element $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ ausgehend die Restklasse $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ abbilden will, woher kommt dann das $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ? Außerdem ist $\begin{eqnarray*} w+W \end{eqnarray*}$ kein Element von $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ . So ist die Abbildung nicht definiert, also auch nicht wohldefiniert.

Wohldefiniertheit darf man nicht mit Linearität verwechseln. Eine Abbildung auf einem Quotientenraum $\begin{eqnarray*} V/U \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert, wenn sie nur von der Restklasse $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ abhängt aber nicht vom Vertreter $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ . Es wäre also für eine definierte Abbildung $\begin{eqnarray*} a:V/U\to X \end{eqnarray*}$ zu zeigen: $\begin{eqnarray*} v+U=v'+U\Rightarrow a(v+U)=a(v'+U) \end{eqnarray*}$

02.01.2018, 18:17

Melanie233

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Sorry es ist v statt w unglücklich

Falsch gelesen, dann muss ich nochmal überlegen unglücklich

02.01.2018, 18:33

Elvis

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DAS ist eine definierte Abbildung, aber eben etwas ganz anderes als das, was du geschrieben hast.
Die Zielmenge ist $\begin{eqnarray*} V/W \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ , und es ist $\begin{eqnarray*} a(v+U)=v+W \end{eqnarray*}$ definiert, weil $\begin{eqnarray*} v\in V,U\le W\le V \end{eqnarray*}$ gegeben sind.

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist wohldefiniert.
Beweis: $\begin{eqnarray*} U\le W\Rightarrow (v+U=v'+U\Rightarrow v-v'\in U\Rightarrow v-v'\in W\Rightarrow v+W=v'+W) \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} v+U=v'+U\Rightarrow a(v+U)=v+W=v'+W=a(v'+U) \end{eqnarray*}$ qed

Da diese Abbildung nun definiert und als wohldefiniert nachgewiesen ist, darfst du die restlichen Eigenschaften beweisen.

02.01.2018, 19:30

Melanie233

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Danke Elvis smile

Da habe ich mich total verlesen .....

Ok muss ich dann noch nachweisen auf gleiche Art: $\begin{eqnarray*} \lambda (v+U)= \lambda (v'+U) \end{eqnarray*}$ folgt
$\begin{eqnarray*} a(\lambda(v+U)) = a(\lambda(v'+U)) \end{eqnarray*}$

02.01.2018, 19:50

Elvis

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Nein, ganz und gar nicht, denn das gilt selbstverständlich für eine wohldefinierte Abbildung.

Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ linear ist:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in V:a(x+U+y+U)=a(x+U)+a(y+U) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x\in V,\forall \lambda \in K:a(\lambda(x+U))=\lambda a(x+U) \end{eqnarray*}$

Mach dir nichts daraus, Quotientenräume machen am Anfang immer Probleme und verdrehen die Gehirnwindungen ... man gewöhnt sich daran ...

02.01.2018, 20:46

Melanie233

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Du hast Recht. Ich blicke da noch nicht ganz durch.

Ich meine, ob ich auf Wohldefiniertheit der Skalar Multiplikation prüfen muss:

Schau mal hier bitte, z.b unter "Der Faktorraum als Vektorraum":

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Faktorraum

02.01.2018, 21:52

Elvis

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Das ist alles gut und schön, aber hier geht es nur um die Eigenschaften der Abbildung a. Ich habe dir geschrieben, was du beweisen sollst. a ist linear (siehe oben) und surjektiv. Das musst du beweisen und sonst nichts.

02.01.2018, 22:25

Melanie233

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Also zu zeigen:

Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ linear ist:

$\begin{eqnarray*} \forall x,y\in V:a(x+U+y+U)=a(x+U)+a(y+U) \end{eqnarray*}$

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} a(x+U)+a(y+U) = x+W +y+W = (x+y) +W = a(x+y+U)=a(x+U+y+U) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x\in V,\forall \lambda \in K:a(\lambda(x+U))=\lambda a(x+U) \end{eqnarray*}$
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda a(x+U) = \lambda (x+W) = \lambda x + W = a (\lambda x + U)= a (\lambda (x + U))<br /> \end{eqnarray*}$

Damit linear.

Das mit der Wohldefiniertheit der Skalarmultiplikation ist mir noch nicht klar, warum ich das nicht zeigen soll:

Da $\begin{eqnarray*} U \subset W \Rightarrow (\lambda (v+ U) = \lambda v + U= (\lambda (v'+ U) = \lambda v' + U \Rightarrow \lambda (v-v') \in U \Rightarrow \lambda (v-v') \in W \Rightarrow \lambda v + W =\lambda v' + W ) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \lambda v + U = \lambda v' + U \Rightarrow a(\lambda v + U)= \lambda v + W =\lambda v' + W = a(\lambda v'+U) \end{eqnarray*}$

03.01.2018, 08:29

Elvis

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Der Beweis für die Linearität von a ist okay.
Dass die Addition und die Skalarmultiplikation in Quotientenraeumen wohldefinierte Operationen sind, versteht sich von selbst, sonst wären das keine Vektorraeume. Es hat nichts damit zu tun, daß U ein UVR von W ist.

03.01.2018, 12:08

Melanie233

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Zitat:

Original von Elvis
Der Beweis für die Linearität von a ist okay.

Geht es wohl noch besser smile

Also nützt das nichts, was ich versucht habe zu beweisen. Naja...

Wie kann das mit der Surjektivität machen?

03.01.2018, 12:11

Elvis

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Wie immer. Du nimmst ein beliebiges Element aus dem Bildraum und findest ein Element aus dem Urbildraum, das von a darauf abgebildet wird. Bei dieser Abbildung ist das trivial.

Der Teil c) der Aufgabe ist interessanter und wichtiger.

03.01.2018, 16:17

Melanie233

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Nehme ich dann z.b ein $\begin{eqnarray*} x+W \in V/W \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} a(x+U)=x+W \end{eqnarray*}$ ?

Ja Aufgabe c) würde mich auch sehr interessieren, nur das verstehe ich nicht ganz unglücklich

03.01.2018, 18:02

Elvis

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Siehst du, wenn etwas so einfach geht, dann nennen wir es trivial. Big Laugh

Und jetzt kommt der Hammer, wir wenden das Erlernte aus den Teilen a) und b) an.
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} W/U\le V/U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum ist. Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} a:V/U\to V/W,v+U\mapsto v+W \end{eqnarray*}$ eine surjektive lineare Abbildung ist, also ein surjektiver Vektorraum-Homomorphismus.
Wenn wir jetzt noch wüssten (Aufgabe c), dass $\begin{eqnarray*} W/U=ker(a) \end{eqnarray*}$ ist, dann könnten wir den HOMOMORPHIESATZ anwenden, der sagt $\begin{eqnarray*} f:X\to Y \end{eqnarray*}$ linear , dann ist $\begin{eqnarray*} X/ker(f)\cong im(f) \end{eqnarray*}$ .
Und das ist, angewandt auf unser Beispiel, genau der ISOMORPHIESATZ für Quotientenräume, nämlich $\begin{eqnarray*} (V/U)/(W/U)\cong V/W \end{eqnarray*}$ .
Ein wunderschönes Stückchen Algebra - applaus, applaus - ich bitte um angemessene Begeisterung. smile

04.01.2018, 09:52

Melanie233

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Ja ich bin wirklich begeistert smile

In der Aufgabe steht ja, dsss $\begin{eqnarray*} W/U=ker(a) \end{eqnarray*}$ ist. Der $\begin{eqnarray*} ker(a) \end{eqnarray*}$ ist dabei:

Sei $\begin{eqnarray*} v +U \in V/U \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} a(v+U) = v+W=0+W=W \end{eqnarray*}$ sein oder? verwirrt

04.01.2018, 11:29

Elvis

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Das stimmt, aber das ist noch kein Beweis. Die Gleichung $\begin{eqnarray*} W/U=ker(a) \end{eqnarray*}$ ist eine Gleichung für Mengen, diese beweist man wie üblich, indem man $\begin{eqnarray*} W/U\subseteq ker(a) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} ker(a) \subseteq W/U \end{eqnarray*}$ beweist. Die Telimengenrelationen beweist man wie üblich, indem man ein Element der Teilmenge nimmt und beweist, dass es in der Menge liegt. Letztlich ist alles in der Mathematik ein Teil der Mengenlehre und ein Teil der Logik.

04.01.2018, 13:17

Melanie233

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Gut

Bevor ich das versuche, würde ich gerne wissen, wie man überhaupt darauf kommt, dass ker a dieser bestimmte Quotientenraum ist. Wie kommt man darauf. Kannst du mir das bitte erklären smile

04.01.2018, 13:53

Elvis

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Zu allgemeinen Prinzipien der Algebra gehören Homomorphiesätze und Isomorphiesätze. Kerne und Bilder von Homomorphismen sind immer wieder Teilstrukturen von algebraischen Strukturen, und es ist immer wieder $\begin{eqnarray*} X/ker(f)\cong im(f)\le Y \end{eqnarray*}$ (Homomorphiesatz). Bei Gruppen sind Kerne Normalteiler, bei Ringen sind Kerne Ideale, bei Körpern sind Kerne Teilkörper und bei Vektorräumen sind es Untervektorräume. So bekommt man zu gegebenen Strukturen mittels strukturerhaltenden Abbildungen (Homomorphismen) viele interessante Teilstrukturen.

Wie bei Quotientenräumen kann man alle algebraischen Strukturen nach diesen Teilstrukturen faktorisieren, das ist reine Mengenlehre, und diese Faktormengen tragen dann eine kanonische Gruppen-, Ring-, Körper-, Vektorraumstruktur. Die Isomorphiesätze benennen isomorphe Strukturen, ihre Beweise beruhen alle auf den Homomorphiesätzen.

Die Homomorphiesätze und Isomorphiesätze sind im Grunde genommen Ausdruck von Verbandsisomorphismen der Teilstrukturverbände, sie gehören zu den wichtigsten Theoremen der Algebra. Ebenso ist der Hauptsatz der Galoistheorie die grundlegende algebraische Erkenntnis über einen Verbandsantiisomorphismus zwischen Teilkörperverband und Automorphismengruppenverband galoisscher (d.h. normaler und separabler) Körpererweiterungen.

Wie diese algebraischen Theoreme die Theorie von algebraischen Zahlkörpern und algebraischen Funktionenkörpern prägen und aufbauen, ist eine andere Geschichte, die an Eleganz, Schönheit und Weisheit nicht zu überbieten ist.

04.01.2018, 15:16

Melanie233

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Ja aber wie findet man konkret heraus, wenn man
$\begin{eqnarray*} a:V/U\to V/W,v+U\mapsto v+W \end{eqnarray*}$ gegeben hat, dass
$\begin{eqnarray*} W/U=ker(a) \end{eqnarray*}$ so beschaffen ist. Wie geht das formal?

04.01.2018, 18:22

Elvis

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Wie man beweist, dass die beiden Mengen gleich sind, habe ich in meinem vorletzten Beitrag (11:29) sehr genau beschrieben. Dann wolltest du wissen, wie man darauf kommt, das steht in meinem letzten Beitrag (13:53).

04.01.2018, 18:26

Melanie233

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Zitat:

Original von Elvis
Dann wolltest du wissen, wie man darauf kommt, das steht in meinem letzten Beitrag (13:53).

Das verstehe ich leider nicht. Wie machst du das genau? verwirrt

04.01.2018, 18:30

Elvis

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Was willst du jetzt wissen ? Triviale Mengenlehre : $\begin{eqnarray*} A=B\Leftrightarrow (A\subseteq B\wedge B\subseteq A)\Leftrightarrow (x\in A\Rightarrow x\in B\wedge x\in B\Rightarrow x\in A) \end{eqnarray*}$

04.01.2018, 18:32

Melanie233

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Nein sondern wie man sieht, dass
$\begin{eqnarray*} W/U=ker(a) \end{eqnarray*}$

04.01.2018, 18:34

Elvis

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Genau so und nicht anders. Links steht eine Menge, rechts steht eine Menge, und es wird behauptet, dass beide Mengen gleich sind.

04.01.2018, 18:42

Melanie233

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Ok dann probier ich mal den Beweis:

1. $\begin{eqnarray*} ker(a) \subseteq W/U \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} v + U \in V/U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(v + U) =0 + W=W \subseteq W/U \end{eqnarray*}$

Funktioniert das ?

04.01.2018, 19:22

Elvis

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Nein, offensichtlich ist das falsch. Es ist so einfach, wenn man es nur mengentheoretisch richtig hinschreibt:

$\begin{eqnarray*} v+U\in ker(a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a(v+U)=v+W=W \end{eqnarray*}$ (nach Definition von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und weil $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ der Nullvektor in $\begin{eqnarray*} V/W \end{eqnarray*}$ ist)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v\in W\Rightarrow v+U\in W/U \end{eqnarray*}$

Umgekehrt geht es noch einfacher. Wichtig bei den Beweisen für Mengengleichheit sind die IMPLIKATIONSPFEILE " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " . Das ist der Zusammenhang von Mengenlehre und Aussagenlogik. Es kommt auf die richtige Schreibweise an, damit aus einem zusammenhanglosen Geschreibsel eine sinnvolle Aussage wird.

Entschuldigung, ich wollte dich nicht erschrecken. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} v+U\in W/U\Rightarrow v+U=w+U\Rightarrow a(v+U)=a(w+U)=w+W=W\Rightarrow v+U\in ker(a) \end{eqnarray*}$

05.01.2018, 11:03

Melanie233

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Zitat:

Original von Elvis

Entschuldigung, ich wollte dich nicht erschrecken. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} v+U\in W/U\Rightarrow v+U=w+U\Rightarrow a(v+U)=a(w+U)=w+W=W\Rightarrow v+U\in ker(a) \end{eqnarray*}$

Ich bin verwirrt unglücklich

Warum schreibst du das jetzt nochmal so hin?

05.01.2018, 11:22

Elvis

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Mengenlehre ! Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten (Extensionalitätsprinzip). Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie Teilmengen von einander sind. Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn die eine Menge Teilmenge der anderen Menge UND DIE ANDERE MENGE TEILMENGE DER EINEN MENGE IST. Um Mengengleichheit zu beweisen, muss man IMMER zwei Richtungen beweisen.

05.01.2018, 11:25

Melanie233

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waren das dann insgesamt beide Richtungen in deinem gesamten Beitrag?

05.01.2018, 11:26

Elvis

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05.01.2018, 11:30

Melanie233

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Zitat:

Original von Elvis

$\begin{eqnarray*} v+U\in W/U\Rightarrow v+U=w+U\Rightarrow a(v+U)=a(w+U)=w+W=W\Rightarrow v+U\in ker(a) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich noch eine Frage. Warum schreibst du hier v+U=w+U ?
Weil es am Ende was nützt?
Die Gleichung gilt ja, weil man die gleiche Nebenklasse unabhängig von der Wahl des Repräsentanten bekommt.

05.01.2018, 11:39

Elvis

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Ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nenne ich $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ , ein beliebiges Element von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ nenne ich $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . Nach Voraussetzung ist für beliebiges $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} v+U\in W/U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v=w\in W \end{eqnarray*}$ .

Man kann auch schreiben $\begin{eqnarray*} w+U\in W/U\Rightarrow a(w+U)=w+W=W\Rightarrow w+U\in ker(a) \end{eqnarray*}$

Ein Beweis muss nicht immer der kürzeste aller möglichen Beweise sein, er muss nur richtig und vollständig sein und gut erklärt werden.

06.01.2018, 10:23

Melanie233

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Zitat:

Original von Elvis
Nach Voraussetzung ist für beliebiges $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} v+U\in W/U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} v=w\in W \end{eqnarray*}$ .

Auf welche Voraussetzungen beziehst du dich dabei?

06.01.2018, 11:15

Elvis

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Behauptung: $\begin{eqnarray*} W/U \subseteq ker(a) \end{eqnarray*}$
Beweis: Sei $\begin{eqnarray*} v+U \in W/U \end{eqnarray*}$ (das ist die Voraussetzung) , dann ist $\begin{eqnarray*} v\in W \end{eqnarray*}$ (denn so ist $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ definiert). Wegen $\begin{eqnarray*} v \in W \end{eqnarray*}$ nennen wir $\begin{eqnarray*} v=w \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} w+U\in W/U \end{eqnarray*}$ . Darauf wenden wir $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ an, dann ist $\begin{eqnarray*} a(w+U)=w+W \end{eqnarray*}$ (nach Definition von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ). Wegen $\begin{eqnarray*} w\in W \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} w+W=W \end{eqnarray*}$ . Weiter ist $\begin{eqnarray*} a:V/U\to V/W, v+U\mapsto v+W \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W=0+W \end{eqnarray*}$ der Nullvektor in $\begin{eqnarray*} V/W \end{eqnarray*}$ . Also bildet $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Element $\begin{eqnarray*} v+U \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} W/U \end{eqnarray*}$ auf den Nullvektor $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V/W \end{eqnarray*}$ ab. Das bedeutet (nach Definition des Kerns), dass jedes Element $\begin{eqnarray*} v+U\in W/U \end{eqnarray*}$ im $\begin{eqnarray*} ker(a) \end{eqnarray*}$ liegt. qed

In Kurzfassung: $\begin{eqnarray*} (w+U\in W/U\Rightarrow a(w+U)=w+W=W\Rightarrow w+U\in ker(a))\Rightarrow W/U \subseteq ker(a) \end{eqnarray*}$

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