Lebesgueintegral berechnen

02.01.2018, 12:41

Lucas77

Lebesgueintegral berechnen

Meine Frage:
Berechne Int_A f(x,y)dLambda_2

Mit f(x,y)=x+sin(y), A={(x,y) aus R^2 : 0<=x<=pi, 0<=y<=x}

Meine Ideen:
Sorry für die Syntax geht gerade leider nicht anders. Lambda_2 bezeichne das zweite Lebesguemaß.
Ich weiss leider noch nicht wie ich ein Lesbegueintegral im Gegensatz zum Riemannintegral behandel.
Ich glaube ich muss hier grundsätzlich mit Fubini das Lebesgueintegral in Riemannintegrale zerlegen oder? Also lambda_2=lambda x lamda aber dann habe ich ein (zwei) "einfaches" Lebesgueintegral und wie ich davon auf Riemannintegral komme ist mir nicht ganz klar.
Sorry für die Syntax nochmal hoffe man kann halbwegs mein grundsätzliches Problem verstehen.
Bin für jede Hilfe, Erklärung dankbar.

02.01.2018, 13:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lucas77
Ich weiss leider noch nicht wie ich ein Lesbegueintegral im Gegensatz zum Riemannintegral behandel.

Kurz gesagt: Ist eine Funktion Riemann-integrierbar, dann ist sie auch Lebesgue-integrierbar, und beide Integralwerte sind gleich. Ist die Funktion aber nur uneigentlich Riemann-integrierbar, dann stimmt die Aussage in dieser Allgemeinheit nicht mehr - im vorliegenden Fall mit beschränktem Integrationsgebiet und dort auch beschränkter Funktion besteht diese Gefahr jedoch nicht.

Zitat:

Original von Lucas77
Ich glaube ich muss hier grundsätzlich mit Fubini das Lebesgueintegral in Riemannintegrale zerlegen oder? Also lambda_2=lambda x lamda

Ja, so kann man vorgehen. D.h., es ist

$\begin{align*} \iint\limits_A (x+\sin(y)) ~\dd\lambda_2(x,y) = \int\limits_0^{\pi} \int\limits_0^x (x+\sin(y)) ~\dd y ~ \dd x \end{align*}$ ,

und letzteres solltest du mit Analysis-Basiskenntnissen berechnen können.

02.01.2018, 15:01

Lucas77

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Genauso habe ich es gemacht, danke.
Wenn mein A jetzt aus drei "Bedingungen" besteht z.b. x>=1, y>=1 und x+y<=3 . Kann ich das umschreiben zu 1<=x<=2 und y=1 oder lasse ich da Werte aus, eigentlich brauche ich 2 Intervallgrenzen oder?

02.01.2018, 15:10

HAL 9000

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Wenn du das "iteriert" schreiben willst, dann bedeutet es zunächst für die innere Integration bzgl. $\begin{align*} y \end{align*}$ bei gegebenem äußeren $\begin{align*} x \end{align*}$ die Grenzen $\begin{align*} 1\leq y \leq 3-x \end{align*}$ . Das ganze macht natürlich nur für $\begin{align*} x\leq 2 \end{align*}$ Sinn, so dass man insgesamt sagen kann

$\begin{align*} \left\{ (x,y) \bigm| x\geq 1,\; y\geq 1,\; x+y\leq 3 \right\} = \left\{ (x,y) \bigm| 1\leq x\leq 2,\; 1\leq y\leq 3-x \right\} \end{align*}$ .

02.01.2018, 15:57

lucas77

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Stimmt, eine Verstädnisfrage habe ich noch: Ich kann doch auch die Varaiabeln vertauschen und die Integrationsgrenzen jeweils da sollte das gleiche rauskommen also hat mein erstes Integral die Grenzen 0 bis x aber dann habe ich ganz am Ende etwas abhängiges von x raus und andersrum was konstantes verwirrt

02.01.2018, 16:09

HAL 9000

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Das meinst du in dem Sinne, dass die äußere Integration über $\begin{align*} y \end{align*}$ läuft, und die innere über $\begin{align*} x \end{align*}$ ?

Na klar, kannst du auch tun, das ist dann eben $\begin{align*} \left\{ (x,y) \bigm| 1\leq y\leq 2,\; 1\leq x\leq 3-y \right\} \end{align*}$ .

02.01.2018, 16:10

lucas77

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Nicht die Variabeln sondern die Integrationsvariabel jeweils sorry und eben die Grenze also genau andersrum, aber das ist einmal abhängig von x und einmal konstant..

02.01.2018, 16:13

lucas77

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Ich bin wieder bei unserem ersten Fall jetzt, sorry.

02.01.2018, 16:23

HAL 9000

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Ok, also zum ersten Fall: Da ist $\begin{align*} A= \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \bigm| 0\leq y\leq x\leq \pi \right\} \end{align*}$ , das kann man so schreiben wie oben

$\begin{align*} A= \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \bigm| 0\leq x\leq \pi,\; 0\leq y\leq x \right\} \end{align*}$

oder eben

$\begin{align*} A= \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \bigm| 0\leq y\leq \pi,\; y\leq x\leq \pi \right\} \end{align*}$

und mit letzterer Darstellung dann

$\begin{align*} \iint\limits_A (x+\sin(y)) ~\dd\lambda_2(x,y) = \int\limits_0^{\pi} \int\limits_y^{\pi} (x+\sin(y)) ~\dd x ~ \dd y \end{align*}$ .

Ist im vorliegenden Fall so ziemlich egal, beide Wege führen leicht zum Ziel. Mitunter ist es aber so, dass nur eine Integrationsreihenfolge überhaupt zu geschlossen integrierbaren Funktionen führt, die andere nicht.

02.01.2018, 16:43

Lucas77

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Vielleicht nochmal mein Problem: Bei Fubini gilt ja auch:

$\begin{eqnarray*} \int_{M_1}^{} \! (\int_{M_2}^{} \! f(x,y) \, du_2(Y)) \, du_1(x)= \int_{M_2}^{} \! (\int_{M_1}^{} \! f(x,y) \, du_1(x)) \, du_2(y) \end{eqnarray*}$

Mit M2xM1=M und u=u_1 x u_2 und u ist jeweils bei uns lambda.

Wenn ich das auf das Doppelintegral anwende, dass du in deinem ersten Beitrag geschrieben hast komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! (\int_{0}^{\pi } \! f(x,y) \, dx )\, dy \end{eqnarray*}$

und da kommt etwas abhängiges von x raus und das ist falsch aber ich verstehe leider noch nicht richtig wieso..

02.01.2018, 16:58

HAL 9000

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Einfach die beiden Integralzeichen inklusive Grenzen vertauschen geht nicht, das führt ja eben zu so einem Unsinn, dass die Integrationsgrenzen des äußeren Integrals von der inneren Integrationsvariablen abhängen, das geht gar nicht. Wie es richtig funktioniert, habe ich doch eben erst in meinem letzten Beitrag erzählt - velleicht liest du es dir einfach nochmal durch.

02.01.2018, 17:08

lucas77

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Ich verstehe da leider nicht wie du auf den Teil nach dem "oder eben" kommst, ich dachte eben es werden die Grenzen und die Integrationsvariabel jeweils getauscht aber ich verstehe nicht wie du darauf dann kommst also wie man Fubini umdreht wenn du verstehst was ich meine, ist mir noch nicht klar, weil hier igt.uni-stuttgart.de/eiserm/lehre/Hoehere-Mathematik-3/HM3-C-1x1.pdf

wenn du oben 15 eingibst da wird doch eben genau das so gedreht wie ich es auch gemacht habe oder nicht?
Ich bin gerade leider ein wenig verwirrt.

02.01.2018, 17:58

lucas77

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Oder auch hier vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Mehrdimensionale_Integration/Folien_Satz_von_Fubini.pdf

auf der zweiten Folie wird doch genauso getauscht wie ich es gemacht habe, aber hier geht man von konstanten Intervallgrenzen aus, die habe ich natürlich nicht, das ist wahrscheinlich der Grund, aber wie macht man es dann richtig? Das habe ich bei dir leider noch nicht ganz verstanden wie du das gemacht hast.

02.01.2018, 18:02

HAL 9000

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Integriert wird über eine Dreiecksfläche, die ich sogar oben geplottet hatte - vielleicht schaust du dir wenigstens die nochmal genau an (wenn du schon nicht meiner Empfehlung folgst, den Rest des Beitrags nochmal zu durchdenken).

02.01.2018, 18:22

Lucas77

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Ich glaube wir reden gerade aneinander vorbei. Du hast eine andere Möglochkeit "gefunden" die Bedingungen in die iterierte Schreibweise zu bringen, jetzt habe ich auch verstanden wie du darauf kommst, einfach eine andere Möglichkeit. Ich hatte eigentlich auch erst die erste Möglichkeit im Kopf die du im ersten Post geschrieben hast aber hab das doch dann verdreht weil ich falsch geguckt habe, prinzipiell dachte ich aber kann man ja bei Fubini die Reihenfolge der Integration wählen wie man möchte aber das ist hier wohl falsch aber mit den gegebenen Referenzen liegt es wohl glaube ich daran das unsere Grenzen nicht Konstant sind.

Weißt du was ich meine?

02.01.2018, 19:05

HAL 9000

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Herrje, machst du einen Aufstand... Dann schreib es halt mit Indikatorfunktionen:

$\begin{align*} \int\limits_A f(x,y) ~ \dd \lambda_2(x,y) = \int\limits_{\mathbb{R}^2} 1_A(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd \lambda_2(x,y) = \int\limits_{\mathbb{R}} \int\limits_{\mathbb{R}} 1_A(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_{\mathbb{R}} \int\limits_{\mathbb{R}} 1_A(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \end{align*}$

Und mit "Auflösung" der Indikatorfunktionen kannst du das dann auch wieder als Integrale mit variablen Grenzen schreiben - und da kommt dann genau das raus, was ich oben geschrieben hatte.

Siehe z.B. hier.

02.01.2018, 20:05

Lucas77

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! \int_{\mathbb R }^{ } \! I_{A} f(x,y) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ auflöse erhalte ich wieder $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! (\int_{0}^{\pi } \! f(x,y) \, dx )\, dy \end{eqnarray*}$
nur andersrum passt es...

02.01.2018, 20:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lucas77
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! \int_{\mathbb R }^{ } \! I_{A} f(x,y) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ auflöse erhalte ich wieder $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{x} \! (\int_{0}^{\pi } \! f(x,y) \, dx )\, dy \end{eqnarray*}$

Dann machst du es falsch. Nochmal: Wenn du was rausbekommst, wo die äußere Integrationsgrenze von der inneren Integrationsvariable abhängt, dann ist das allergröbster Humbug. Forum Kloppe

Es ist $\begin{align*} 1_A(x,y) = \begin{cases} 1 &\;\mbox{falls}\; 0\leq y\leq x\leq \pi\\ 0 &\;\mbox{sonst}\end{cases} \end{align*}$

1.Bei gegebenem Wert $\begin{align*} y \end{align*}$ der äußeren Integrationsvariablen haben wir also Indikatorwert 1 für $\begin{align*} x \end{align*}$ -Werte mit $\begin{align*} y\leq x\leq \pi \end{align*}$ , das aber auch nur bei $\begin{align*} y \end{align*}$ -Werten zwischen 0 und $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Damit ist

$\begin{align*} \int\limits_{\mathbb{R}} \int\limits_{\mathbb{R}} 1_A(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y = \int\limits_0^{\pi} \int\limits_y^{\pi} f(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{align*}$ .

2.Bei gegebenem Wert $\begin{align*} x \end{align*}$ der äußeren Integrationsvariablen haben wir also Indikatorwert 1 für $\begin{align*} y \end{align*}$ -Werte mit $\begin{align*} 0\leq y\leq x \end{align*}$ , das aber auch nur bei $\begin{align*} x \end{align*}$ -Werten zwischen 0 und $\begin{align*} \pi \end{align*}$ . Damit ist

$\begin{align*} \int\limits_{\mathbb{R}} \int\limits_{\mathbb{R}} 1_A(x,y)\cdot f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x = \int\limits_0^{\pi} \int\limits_0^x f(x,y) ~ \dd y ~ \dd x \end{align*}$ .

Ist denn das wirklich sooooo schwer, dass man da zigmal nachfragen muss? unglücklich

02.01.2018, 20:22

Lucas77

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$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! \int_{\mathbb R }^{ } \! I_{A} f(x,y) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ auflösen, wann ist also die Indikatorfunktion 1 bzw. (x,y) aus A? Wenn 0<=x<=pi , 0<=y<=x ist.. eingesetzt - falsch, dann zeig es mir bitte..

02.01.2018, 20:25

HAL 9000

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Hab ich gerade. Und wenn du es jetzt immer noch nicht kapierst, dann gebe ich auf. unglücklich

02.01.2018, 20:46

lucas77

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Natürlich verstehe ich das, aber wenn ich jetzt nicht

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! \int_{\mathbb R }^{ } \! I_{A} f(x,y) \, dx \, dy \end{eqnarray*}$ betrachte sondern das gedrehte, dann ändert sich doch nichts an der Indikatorfunktion, die steht doch immer noch genauso da und die Argumentation auch.. aber die Grenzen werden ja nicht einfach gedreht, das ist mein Problem, was ändert sich denn dann an der Argumentation wann die Indikatorfunktion 1 sein soll? Big Laugh

02.01.2018, 20:52

HAL 9000

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Wie gesagt, ich gebe auf.

02.01.2018, 20:58

Lucas77

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Dann schreib es mir doch bitte noch für $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb R }^{} \! \int_{\mathbb R }^{ } \! I_{A} f(x,y) \, dy \, dx \end{eqnarray*}$ hin.. die Indikatorfunktion ist doch die selbe.. was ändert sich?

02.01.2018, 21:09

HAL 9000

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Obwohl du ja oben noch behauptet hattest, die andere Integrationsreihenfolge verstanden zu haben, habe ich die Rechnung mit Indikatorfunktion dazu oben noch ergänzt. Forum Kloppe

02.01.2018, 21:13

lucas77

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Ja, da habe ich es auch einfach eingesetzt direkt von Fubini aus, ok dann scheine ich die Indikatorfunktion oder noch weniger die Zeichen =, >= noch nicht verstanden zu haben bzw. die Ungleichungskette zu lesen.. warum man bei dem einen dann "einfach" auf was anderes kommt.. werde mich mal schlau machen.. danke trotzdem..

02.01.2018, 21:18

HAL 9000

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Alle deine Nachfragen nach 16:23 betrachten ich als ziemlich überflüssig, wenn du einfach nur mal genau über diesen Post 16:23 nachgedacht hättest. Das musste ich noch loswerden angesichts dieser mir verhassten "Danke trotzdem"-Floskel. unglücklich

02.01.2018, 21:31

lucas77

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War kein verhasstes "danke trotzdem" ich habe die Aufgabe ja auch prinzipiell richtig angegangen wollte dann nur das mit den drehen wissen.. verstehe (jetzt) wohl wie das bei dem 16:23 Post gemeint ist mit der äußeren int-variabel y also äußere Grenze und dann die innere eben bei x.
Muss ich mir eventuell nur nochmal klarer machen.

Danke

02.01.2018, 23:57

sibelius84

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Hallo lucas77,

wenn du Funktionen jetzt nicht mehr nur über reelle Intervalle [a,b], sondern nunmehr auch über Gebiete im |R² integrierst, dann ist es nützlich sich besonders gut klarzumachen, wie diese Gebiete aussehen.

Beispiel 1: Integriere f(x,y) = xy² über [0,1]x[0,2].

[0,1]x[0,2] ist ein Rechteck mit Länge 2 (in y-Richtung) und Breite 1 (in x-Richtung). Bei einem Rechteck ist es völlig egal, ob du zuerst über die x- und das Ergebnis dann über die y-Achse, oder umgekehrt integrierst. Das liegt an der völligen Regelmäßigkeit der Figur. Hier gilt also nun nach Fubini tatsächlich

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^2 \,xy^2\;dy\,dx = \int_{[0,1]\times[0,2]}\,xy^2 d\lambda_2(x,y) = \int_0^2 \int_0^1 \,xy^2\;dx\,dy \end{eqnarray*}$ .

Beispiel 2: Integriere f(x,y) = xy² über das Dreieck D mit Ecken bei (-1,0), (1,1) und (1,-1).

D ist ein Dreieck, und für $\begin{eqnarray*} (x,y)\in D \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} -1\leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} -1\leq y \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Aber wenn du jetzt beide Integrale von -1 bis 1 laufen lassen würdest, würdest du ja wieder über ein Rechteck integrieren und nicht mehr über ein Dreieck. Also muss eine andere Lösung her. Die könnte etwa so aussehen, dass man das Dreieck D zunächst folgendermaßen beschreibt:

$\begin{eqnarray*} D=\{(x,y)\in\mathbb R^2\,\mid\,-1\leq x \leq 1, -\frac 1 2 x - \frac 1 2 \leq y \leq \frac 1 2 x + \frac 1 2 \} \end{eqnarray*}$ .

(Die hinteren Terme sind entstanden, indem ich Geradengleichungen durch (-1,0) und (1,1) bzw. (-1,0) und (-1,-1) aufgestellt habe.)

Also: Erst x eingrenzen und dann y in Abhängigkeit von x. Dann kann man problemlos integrieren: Das äußere Integral läuft von -1 bis 1 und das innere von -0,5x-0,5 bis 0,5x+0,5. Beim inneren wird nach y integriert und das Ergebnis hängt von x ab; beim äußeren wird dann nach x integriert und es kommt eine Zahl als Ergebnis heraus.

Damit ist dir evtl. schon klar, dass die Antwort auf deine Frage lautet: Deine Vermutung stimmt; sobald die Grenzen nicht mehr konstant sind, darf man sie nicht ohne Weiteres einfach so vertauschen. Der Satz von Fubini erlaubt uns aber immerhin, sich den Integrationsbereich zu skizzieren und dann "zu Fuß" eine neue Darstellung der Menge D zu bestimmen, in der y als erstes eingegrenzt wird und x dann als zweites (in Abhängigkeit von y). Auch hier ist es nicht selbstverständlich, dass man das 'einfach so' darf, bzw. dass dann der selbe Integralwert herauskommt. Aber durch den Satz von Fubini ist es möglich.

LG
sibelius84

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