Nicht äquivalente Normen

02.01.2018, 17:32

Kathi007

Nicht äquivalente Normen

Meine Frage:
Hallo,
Ich habe eine Aufgabe bekommen, wo ich nicht genau weiß wie ich sie ansetzen soll...
Sei V ein Vektorraum und seien ||?||_1, ||?||_2: V ?> IR Normen auf V.
Ich soll zeigen, dass wenn ||?||_1 und ||?||_2 nicht äquivalent sind, es eine Folge gibt, die eine Nullfolge bezüglich einer der beiden Normen aber unbeschränkt bezüglich der anderen Norm ist.

Meine Ideen:
Wir haben zur Äquivalenz von Normen lediglich gesagt, dass zwei Normen ||?||_1 und ||?||_2 auf V äquivalent sind, wenn es 2 Konstanten c und C, 0<c, gibt so dass
c||v||_1 <= ||v||_2 <= C ||v||_1 für alle veV.

kann ich anhand des Satzes und einer zusätzlichen Folge (x_n) in V mit neN zeigen, dass das gilt? Wir haben den Satz jedoch nicht bewiesen bisher...

Danke.

02.01.2018, 18:53

10001000Nick1

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im Matheboard!

Bitte benutze beim nächsten Mal die Vorschaufunktion; bei Copy&Paste entstehen oft unleserliche Texte wie oben.

Zitat:

Original von Kathi007
kann ich anhand des Satzes und einer zusätzlichen Folge (x_n) in V mit neN zeigen, dass das gilt? Wir haben den Satz jedoch nicht bewiesen bisher...

Welchen Satz meinst du?

Wenn die beiden Normen nicht äquivalent sind, bedeutet das:
Es gibt kein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \|x\|_1\leq C\|x\|_2 \end{eqnarray*}$ .

Oder: Es gibt kein $\begin{eqnarray*} \tilde C>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \|x\|_2\leq \tilde C\|x\|_1 \end{eqnarray*}$ .
(Warum?)

Bleiben wir beim ersten Fall (für den zweiten Fall muss man ja nur die beiden Normen vertauschen).
Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_1 \end{eqnarray*}$ kann also im Vergleich zu Norm $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ beliebig groß werden. D.h. wir suchen eine Folge, die bzgl. Norm 1 unbeschränkt, aber bzgl. Norm 2 eine Nullfolge ist.

Dazu wähle für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x_n\|_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^2\cdot \|x_n\|_2 < \|x_n\|_1=1 \end{eqnarray*}$ . (Warum ist das möglich?)

Und dann schau dir die Folge $\begin{eqnarray*} (n\cdot x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ an.

02.01.2018, 19:31

Kathi006

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Nicht äquivalente Normen
Tut mir leid, ich bin neu hier. Die Fragezeichen bei den Normen sollten ein Punkt sein, als Platzhalter.

Zu der Frage welchen Satz ich meinte:
Äquivalentes von Normen, steht inhaltlich in der Frage unter „meine Ideen“

Danke für deine Antwort, jedoch frage ich mich warum ich $\begin{eqnarray*} ||x_n||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ setze?

02.01.2018, 19:45

10001000Nick1

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RE: Nicht äquivalente Normen
Das was unter "Meine Ideen" steht, ist die Definition von Normäquivalenz; nicht irgendein Satz, den man beweisen könnte. Oder wie habt ihr Äquivalenz von Normen definiert? verwirrt

Zitat:

Original von Kathi006
jedoch frage ich mich warum ich $\begin{eqnarray*} ||x_n||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ setze?

Das habe ich ganz einfach deshalb gefordert, weil es für den weiteren Beweis praktisch ist. Augenzwinkern

03.01.2018, 12:55

Kathi007

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Nicht äquivalente Normen
Wir haben sonst gar nichts dazu definiert.
Wie kommt man darauf dass $\begin{eqnarray*} ||x||_1 \leq C ||x||_2 \end{eqnarray*}$ für nicht äquivalente Normen gilt?

Warum setze ich dann $\begin{eqnarray*} n^2 * ||x_n||_2 < ||x_n||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ an und nicht $\begin{eqnarray*} 1=||x_n||_1 \leq n^2 * ||x_n||_2 \end{eqnarray*}$ an? Das zweite entspreche ja der übrigen Definition von nicht äquivalenten Normen.

03.01.2018, 13:41

10001000Nick1

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RE: Nicht äquivalente Normen
Wie sollt ihr dann irgendwas beweisen, wenn ihr die verwendeten Begriffe gar nicht definiert habt? geschockt

Also gut, gehen wir mal davon aus, dass dieser "Satz" eure Definition ist.

Zitat:

Original von Kathi007
Wie kommt man darauf dass $\begin{eqnarray*} ||x||_1 \leq C ||x||_2 \end{eqnarray*}$ für nicht äquivalente Normen gilt?

Das soll eben nicht gelten. Lies nochmal, was ich oben geschrieben habe: Eine der beiden Aussagen

Zitat:

Original von 10001000Nick1
Es gibt kein $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \|x\|_1\leq C\|x\|_2 \end{eqnarray*}$ .

Oder: Es gibt kein $\begin{eqnarray*} \tilde C>0 \end{eqnarray*}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \|x\|_2\leq \tilde C\|x\|_1 \end{eqnarray*}$ .

muss gelten. (Denn angenommen, es würde solche $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tilde C \end{eqnarray*}$ geben, dann würde $\begin{eqnarray*} \frac 1C\|x\|_1\leq \|x\|_2\leq \tilde C\|x\|_1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ gelten, und damit wären die Normen äquivalent.)

Damit sollte sich auch die nächste Frage geklärt haben.

05.01.2018, 18:43

Kathi007

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Nicht äquivalente Normen
Hallo,

Also mir ist bewusst warum $\begin{eqnarray*} ||x_n||_2 \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge darstellt. Doch wie Beweise ich die Unbeschränktheit von $\begin{eqnarray*} ||x_n||_1 \end{eqnarray*}$ ?

Ist bei $\begin{eqnarray*} n*x_n \end{eqnarray*}$ eine Folge gemeint die divergent ist? Ich verstehe nicht wie diese Folge aussehen soll, da ich nicht weiß wie $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ aussehen soll.

06.01.2018, 03:55

10001000Nick1

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RE: Nicht äquivalente Normen
Mit $\begin{eqnarray*} (n\cdot x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ist die Folge gemeint, die du aus der Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ erhältst, wenn du das n-te Folgenglied mit n multipizierst. Also $\begin{eqnarray*} (x_1, 2x_2, 3x_3, 4x_4, ...) \end{eqnarray*}$ .
Wenn du willst, könntest du das auch so schreiben: "Definiere die Folge $\begin{eqnarray*} (y_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} y_n:= n\cdot x_n \end{eqnarray*}$ ."

Über $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ hast du keine weiteren Informationen außer $\begin{eqnarray*} \|x_n\|_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^2\cdot \|x_n\|_2 < 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Mehr brauchst du aber auch gar nicht, um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (n\cdot x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} (y_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ) bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1 \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \|n\cdot x_n\|_1 \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \|y_n\|_1 \end{eqnarray*}$ )?

06.01.2018, 12:49

Kathi007

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Nicht äquivalente Normen
Wenn $\begin{eqnarray*} ||x_n||_1 = 1 \end{eqnarray*}$ ist, ist dann $\begin{eqnarray*} ||n*x_n||_1 = n \end{eqnarray*}$ ?
Weil dann würde n gegen unendlich gehen und wäre divergent. Dann hätte $\begin{eqnarray*} (n*x_n)_n \end{eqnarray*}$ keine obere Schranke und wäre damit nach oben unbeschränkt. Daraus folgt dass die Folge bezüglich der ersten Norm ja unbeschränkt ist. Richtig?

06.01.2018, 13:55

Kathi007

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Nicht äquivalente Normen
Und warum nehme ich einmal $\begin{eqnarray*} n^2*||x_n||_2 \end{eqnarray*}$ und einmal $\begin{eqnarray*} ||n*x_n||_1 \end{eqnarray*}$ ? Mal davon abgesehen das der Faktor n einmal in und außerhalb der Norm steht, sind das doch nicht exakt die gleichen folgen? Kann ich nicht für beide auch nur n oder für beide n Quadrat nehmen ? Es ja laut Aufgabe eine identische Folge geben, die unbeschränkt bezüglich der einen Norm, eine Nullfolge bezüglich der anderen Norm ist.

08.01.2018, 14:41

10001000Nick1

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RE: Nicht äquivalente Normen

Zitat:

Original von Kathi007
Es ja laut Aufgabe eine identische Folge geben, die unbeschränkt bezüglich der einen Norm, eine Nullfolge bezüglich der anderen Norm ist.

Und genau das tut die Folge $\begin{eqnarray*} (n\cdot x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} n^2\cdot \|x_n\|_2<1 \end{eqnarray*}$ war nur eine Bedingung, die die $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ erfüllen sollen. Die Folge $\begin{eqnarray*} (n^2\cdot x_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ wollen wir nicht betrachten.

Die Unbeschränktheit bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_1 \end{eqnarray*}$ hast du richtig begründet: $\begin{eqnarray*} \|n\cdot x_n\|_1=n\xrightarrow{n\to\infty} \infty \end{eqnarray*}$ .

Warum ist jetzt die Folge bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_2 \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge?

08.01.2018, 17:36

Kathi007

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Nicht äquivalente Normen
Ich bin mir im Moment gerade da nicht ganz sicher. Wir wissen $\begin{eqnarray*} n^2 * ||x_n||_2 < 1 \end{eqnarray*}$ und wegen der positiven Definitheit muss die Norm größer gleich 0 sein. Da n aber aus den natürlichen Zahlen stammt, kann $\begin{eqnarray*} n^2 * ||x_n||_2 \end{eqnarray*}$ nur im Intervall [0,1) liegen. Ebenso die Die Folge bezüglich der zweiten Norm.
Ich mein ich weiß sie geht gegen 0, aber dass auch nur weil ich es voraussetze und ich weiß dass es grundsätzlich möglich ist. Aber ich hab keine Ahnung wie ich ausschließe dass sie nicht gegen 0,1 geht z.B.
Oder kann ich das auf Grund der einsetzbaren n annehmen? ...

Was ich mich auch frage, ist warum nehmen wir $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ an und nicht n oder n hoch 3 oder so....? Und wie komm ich darauf „selbst“?

08.01.2018, 21:11

10001000Nick1

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RE: Nicht äquivalente Normen
Aus $\begin{eqnarray*} n^2\cdot \|x_n\|_2 < 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \|x_n\|_2 <\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ ; also $\begin{eqnarray*} \|n\cdot x_n\|_2 <\frac 1n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ...

Zitat:

Original von Kathi007
Was ich mich auch frage, ist warum nehmen wir $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ an und nicht n oder n hoch 3 oder so....?

Ganz einfach deswegen, weil es funktioniert. Einen tieferen Sinn gibt es da nicht.

Eine Antwort auf "Wie kommt man darauf?" gibt es genauso wenig. Mathematik funktioniert nicht nach "Kochrezepten"; es gibt sicherlich noch viele andere Wege, die Aussage zu beweisen. Ich kann dir nur sagen, wie ich sie beweisen würde.

10.01.2018, 23:47

yiega

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Guten Tag, ich bearbeite im Moment die selbe Aufgabe und habe eine Frage.
Bei diesem Schritt:
„Dazu wähle für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \|x_n\|_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n^2\cdot \|x_n\|_2 < \|x_n\|_1=1 \end{eqnarray*}$ .“
verstehe ich nicht wieso ich das machen darf. Also, dass ich in jedem normierten Vektorraum
$\begin{eqnarray*} x_n\in V \end{eqnarray*}$ finde mit $\begin{eqnarray*} \|x_n\|=1 \end{eqnarray*}$ ist mir klar, aber wieso darf der zweite Teil auch gelten?

Ich hoffe ich darf das hier so in den Thread posten!

11.01.2018, 22:54

10001000Nick1

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Wegen

Zitat:

findet man für jedes $\begin{eqnarray*} C>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in V \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \|x\|_1> C \|x\|_2 \end{eqnarray*}$ gilt. Dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann nicht der Nullvektor sein, denn dann wären beiden Seiten gleich 0.
Und für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ können wir dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einfach bzgl. $\begin{eqnarray*} \|\cdot \|_1 \end{eqnarray*}$ normieren; denn $\begin{eqnarray*} \|x\|_1> C \|x\|_2 \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \left\| \frac{x}{\|x\|_1} \right\|_1 >C \left\| \frac{x}{\|x\|_1} \right\|_2 \end{eqnarray*}$ .

12.01.2018, 11:05

HAL 9000

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Die Gedanken von 10001000Nick1 im letzten Post nochmal zusammengefasst, könnte man den Bedenkenträgern ("warum darf man das mit Norm 1 wählen...") auch so begegnen: Aus

Zitat:

folgt die Existenz einer Folge $\begin{align*} (y_n) \end{align*}$ mit $\begin{align*} \|y_n\|_1 > n^2 \|y_n\|_2 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\in\mathbb{N} \end{align*}$ . (*)

Offenkundig sind alle $\begin{align*} y_n\neq 0 \end{align*}$ , und nun definieren wir einfach $\begin{align*} x_n := \frac{n}{\|y_n\|_1} \cdot y_n \end{align*}$ .

Dann ist per dieser Definition $\begin{align*} \|x_n\|_1 = \frac{n}{\|y_n\|_1} \cdot \|y_n\|_1 = n \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \|x_n\|_2 = \frac{n}{\|y_n\|_1} \cdot \|y_n\|_2 \stackrel{(*)}{<} \frac{n}{\|y_n\|_1} \cdot \frac{1}{n^2} \|y_n\|_1 = \frac{1}{n} \end{align*}$ .

P.S.: Hätte 10001000Nick1 sicher von vornherein so gemacht, wenn er geahnt hätte, welche Nerverei da folgt. Augenzwinkern

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