Limes von nte-Wurzel von n! berechnen

02.01.2018, 18:38

Snexx_Math

Limes von nte-Wurzel von n! berechnen

Hallo zusammen,

ich frage mich gerade wie ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$

Man könnte ja folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n!} = \sqrt[n]{n \cdot (n-1 \cdot ... \cdot 1) [n-Faktoren]}= \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{n-1} \cdot ... \cdot \sqrt[n]{1} = \end{eqnarray*}$

Meine Logik sagt mir, dass für die einzelnen Faktoren gilt, dass jeder Faktor $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist und somit bei $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ unendliche viele Faktoren begründen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$

Doch wie zeige ich diesen Gedanken jetzt mathematisch, indem ich meine Rechnung von oben weiterführe ?

Danke im voraus ! smile

LG

Snexx_Math

02.01.2018, 18:51

forbin

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Ja, das ist der übliche, falsche Gedankengang Augenzwinkern

Du darfst die Konvergenzgesetze ja nur bei vorliegender Konvergenz anwenden.
Außerdem: Du multiplizierst ja -deiner Aussage nach- unendlich oft den Faktor $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ , was ja bekanntlich gegen eins geht. Warum meinst du, es würde divergieren? verwirrt

02.01.2018, 22:45

ML_

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RE: Limes von nte-Wurzel von n! berechnen

Zitat:

ich frage mich gerade wie ich zeige, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!} = \infty \end{eqnarray*}$

Du könntest nach einer Abschätzung für n! suchen und diese beweisen, beispielsweise
$\begin{eqnarray*} 3\left( \frac{n}{3} \right)^n \leq n! \leq 2\left( \frac{n}{2} \right)^n \end{eqnarray*}$ .
Anschließend kannst Du Dich um die n-te Wurzel kümmern.

03.01.2018, 09:39

HAL 9000

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Wobei hier der Fokus auf dem linken Teil dieser Doppelungleichung liegt. Es gibt auch unzählige weitere Abschätzungen dieser Art, darunter auch ziemlich einfach begründbare, z.B. indem man die "obere" Hälfte der Faktoren von $\begin{align*} n! \end{align*}$ nach unten durch $\begin{align*} \frac{n}{2} \end{align*}$ abschätzt, und die untere Hälfte einfach durch 1. Das ergibt

$\begin{align*} n! \geq \left( \frac{n}{2} \right)^{\left\lfloor \frac{n+1}{2}\right\rfloor}\cdot 1 \geq \left( \frac{n}{2} \right)^{\frac{n}{2}} \end{align*}$

und damit $\begin{align*} \sqrt[n]{n!} \geq \sqrt{\frac{n}{2}} \end{align*}$ , was für die vorliegende Frage ja bereits ausreicht.

03.01.2018, 14:39

Snexx_Math

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Ok hört sich plausibel an und kann das so schon direkt nachvollziehen.

Danke für die netten Antworten smile

LG

Snexx_Math

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