Komplexer Logarithmus

02.01.2018, 21:56	mike18	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexer Logarithmus Hallo, kann mir jemand mit einer Aufgabe helfen: $\begin{eqnarray} z = \lim_{\epsilon \to 0} ln(-1+i\epsilon) \end{eqnarray}$ Ich muss die komplexe Zahl angeben. Ich bin sehr dankbar, wenn jemand mir helfen kann.
02.01.2018, 22:06	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo mike18, welchen Zweig des komplexen Logarithmus bezeichnet denn hier "ln"? Das Argument -1+i·eps liegt ja im zweiten Quadranten, da gibt es doch dann eine Formel für den Hauptzweig. So etwas wie ln(z) = ln(\|z\|) + i·arctan(...), oder so (wobei der ln auf der rechten Seite den reellen Logarithmus bezeichne). LG sibelius84
03.01.2018, 00:33	mike18	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, danke ich habe die gelöst. Ich habe eine ähnliche Aufgabe $\begin{eqnarray} z = \lim_{\epsilon \to 0} ln(-1-i\epsilon) \end{eqnarray}$ Wie komme ich $\begin{eqnarray} -i\pi \end{eqnarray}$ am Ende raus? Ich dachte: $\begin{eqnarray} ln(\|z\|) + i(\pi + arctan(\frac{\epsilon}{1})) \end{eqnarray}$ weil es + arctan(eps/1) nach pi ist. Soll man dann in der anderen Richtung drehen, sodass es immer kleiner als pi ist? Wenn ja, wieso genau?
03.01.2018, 01:43	ML_	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen lösen Hallo, $\begin{eqnarray} z = \lim_{\epsilon \to 0} \ln(-1+i\epsilon)= \lim_{\epsilon \to 0} \ln\left( \sqrt{1+\epsilon^2} \cdot \mathrm{e}^{i (\pi + \arctan(\epsilon))} \right) \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \ln(1)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \arctan(x) \approx x \end{eqnarray}$ für kleine $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ kann man das umschreiben zu: $\begin{eqnarray} z = ... = \lim_{\epsilon \to 0} \ln\left(\mathrm{e}^{i (\pi + \epsilon)} \right) \end{eqnarray}$ Dummerweise strebt das Argument auf den Winkel 180° bzw. -180° zu. Für $\begin{eqnarray} \epsilon = 0^+ \end{eqnarray}$ ist das Argument $\begin{eqnarray} +i\pi \end{eqnarray}$ , für $\begin{eqnarray} \epsilon = 0^- \end{eqnarray}$ würde man das Argument eher $\begin{eqnarray} -i\pi \end{eqnarray}$ schreiben. Folglich ergibt sich für $\begin{eqnarray} \epsilon = 0^+ \end{eqnarray}$ das Ergebnis: $\begin{eqnarray} z=i\pi \end{eqnarray}$ , und für $\begin{eqnarray} \epsilon = 0^- \end{eqnarray}$ ergibt sich $\begin{eqnarray} z=-i\pi \end{eqnarray}$ . Viele Grüße Michael
03.01.2018, 14:24	mike18	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok. So ist ist wirklich, dass die zweite Aufgabe im dritten Quadranten ist, und geht von unten (negative) nach pi (also -pi) und sofern ist es -pi und nicht pi. Ist das die Logik?
05.01.2018, 21:25	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Witz ist: Falls $\begin{eqnarray} -\pi<\varphi<\pi \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} \ln(e^{i\varphi})=i\varphi \end{eqnarray}$ . Ist aber $\begin{eqnarray} \pi<\varphi<3\pi \end{eqnarray}$ , so gilt $\begin{eqnarray} \ln(e^{i\varphi})=i\varphi-2\pi i \end{eqnarray}$ . Wenn also - wie üblich - $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} \pi+\arctan(\epsilon)>\pi \end{eqnarray}$ , wir sind im zweiten Fall und müssen noch mal $\begin{eqnarray} 2\pi i \end{eqnarray}$ abziehen, das ist die Logik.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »