Komplexe Wurzeln

03.01.2018, 02:31

mike18

Komplexe Wurzeln

Hallo wieder,

ich möchte eine Aufgabe zusammen rechnen:

Bestimmen Sie alle Lösungen z in C der folgenden Gleichung:

$\begin{eqnarray*} z^7 = -128 \end{eqnarray*}$

Ich habe für eine allgemeine Form nachgeschlagen aber leider habe ich nichts gutes/ähnliches gefunden (außer z^6 aber das ist eher einfacher und zu leicht).

Was ich habe:

$\begin{eqnarray*} z^7 = -128 \Rightarrow (z^7)^*=(z^*)^7 = -128 \Rightarrow \rho = |zz^*| oder = |zz^*|^7 oder |(zz^*)^7| \end{eqnarray*}$ ??

03.01.2018, 09:01

klarsoweit

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RE: Komplexe Wurzeln
Ich weiß ja nicht, wo du nachgeschlagen hast. Ich empfehle https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Ma...omplexen_Zahlen . Augenzwinkern

03.01.2018, 15:22

mike18

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Danke klarsoweit smile

.

So dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} z = 2exp(\frac{i\phi}{7}+k\frac{2i\pi}{7}) \end{eqnarray*}$

Aber wie weiß ich was phi ist?

03.01.2018, 15:42

klarsoweit

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Du hast sicher schon mal was von der Polarform der komplexen Zahlen gehört?

03.01.2018, 17:32

mike18

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Ja aber wir brauchen a und b um den Grad zu finden (von a + ib).

03.01.2018, 17:37

Steffen Bühler

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Wirf doch mal einen Blick in unseren Workshop, insbesondere die Aussage über den Winkel rein reeller Zahlen. smile

Viele Grüße
Steffen

04.01.2018, 08:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von mike18
Ja aber wir brauchen a und b um den Grad zu finden (von a + ib).

Nun ja, die lassen sich von der Zahl -128 ja wohl direkt ablesen. Außerdem sollte ja wohl klar sein, was der Winkel phi bei einer negativen Zahl ist. Augenzwinkern

04.01.2018, 22:50

mike18

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Danke für die Beiträge smile

Ich habe es verstanden aber meine Frage jetzt ist: da phi =-pi ist, wieso hat die Lösung ohne das Minuszeichen für phi? Ist es, weil der Unterschied zwischen -pi und pi ist nur von welcher Richtung man rotiert? Und somit ist der Wert das gleiche nur eins kommt von unten under der andere kommt von oben? Wenn ja, bedeutet das denn, dass die Nullstellen in der gleichen Richtung anfangen, wie der Grad von phi? Z.B. da phi -pi ist, ist die erste Nullstelle von unten dreht rechtsherum?

05.01.2018, 08:51

klarsoweit

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Du verwendest da Formulierungen, die mich rätseln lassen. Was ist eine Nullstelle, die "von unten dreht rechtsherum"? verwirrt

Die erste Nullstelle ist $\begin{eqnarray*} z_0 = 2e^{\frac{i\phi}{7}} \end{eqnarray*}$ . Und ob du da phi = pi oder phi = -pi nimmst, ist völlig belanglos. Es ist jedesmal die gleiche Nullstelle.

EDIT: ist Blödsinn. Siehe folgende Beiträge. traurig

05.01.2018, 09:21

Steffen Bühler

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Ich ahne, was er meint: was ist die siebte Wurzel (also der Hauptwert) von -128? Da ja der Winkel von -128 ja sowohl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ sein kann, ist es zunächst unklar, ob der Winkel des Hauptwerts nun $\begin{eqnarray*} + \frac {\pi}7 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \frac {\pi}7 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun, auch dazu lässt sich Tante Wiki im genannten Artikel aus. Mit $\begin{eqnarray*} z^{\frac 1n} = e^{ \frac { \ln z}n} \end{eqnarray*}$ ergibt sich durch Fortsetzung des ln ins Negative, dass in diesem Fall der Hauptwert den Winkel $\begin{eqnarray*} + \frac {\pi}7 \end{eqnarray*}$ besitzt.

Viele Grüße
Steffen

05.01.2018, 09:38

Leopold

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Zitat:

Original von klarsoweit
Die erste Nullstelle ist $\begin{eqnarray*} z_0 = 2e^{\frac{i\phi}{7}} \end{eqnarray*}$ . Und ob du da phi = pi oder phi = -pi nimmst, ist völlig belanglos. Es ist jedesmal die gleiche Nullstelle.

Das stimmt so nicht. Ist $\begin{align*} \omega = \operatorname{e}^{\frac{2 \pi \operatorname{i}}{7}} \end{align*}$ , so ist natürlich die Menge

$\begin{align*} \left\{ \left. \, z_0 \omega^k \, \right| \, k \in \mathbb{Z} \, \right\} \end{align*}$

unabhängig davon, ob $\begin{align*} z_0 = \operatorname{e}^{\frac{\operatorname{i} \pi}{7}} \end{align*}$ oder $\begin{align*} z_0 = \operatorname{e}^{- \frac{\operatorname{i} \pi}{7}} \end{align*}$ ist. Die beiden $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ selber sind aber konjugiert komplex zueinander und nicht gleich.

05.01.2018, 09:42

klarsoweit

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Meine Güte. Wo habe ich nur meine Gedanken gehabt? Hammer

05.01.2018, 16:04

mike18

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Ich ahne, was er meint: was ist die siebte Wurzel (also der Hauptwert) von -128? Da ja der Winkel von -128 ja sowohl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} - \pi \end{eqnarray*}$ sein kann, ist es zunächst unklar, ob der Winkel des Hauptwerts nun $\begin{eqnarray*} + \frac {\pi}7 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} - \frac {\pi}7 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun, auch dazu lässt sich Tante Wiki im genannten Artikel aus. Mit $\begin{eqnarray*} z^{\frac 1n} = e^{ \frac { \ln z}n} \end{eqnarray*}$ ergibt sich durch Fortsetzung des ln ins Negative, dass in diesem Fall der Hauptwert den Winkel $\begin{eqnarray*} + \frac {\pi}7 \end{eqnarray*}$ besitzt.

Viele Grüße
Steffen

Hallo, ist das normalerweise der Fall, dass der Hauptwert positiv ist abgesehen davon, ob der Grad negative oder positive ist?

05.01.2018, 17:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von mike18
Hallo, ist das normalerweise der Fall, dass der Hauptwert positiv ist abgesehen davon, ob der Grad negative oder positive ist?

Ich frage mich gerade, ob du diesen Satz nochmal durchgelesen hast, bevor du ihn abgeschickt hast - irgendwie klingt er, als hast du zum Ende hin die Richtung gewechselt, so dass er nur noch furchtbar unlogisch klingt. unglücklich

Ich versuch mal zu deuten, was du eventuell meinen könntest:

Zum ersten: Der Hauptwert ist eine komplexe Zahl. Eine solche nennt man nur positiv, wenn sie reell und positiv ist. Was du hier vielleicht meinst ist das Argument (=Polarwinkel) des Hauptwerts. Das ist genau dann positiv, wenn auch das Argument des Radikanden positiv ist, wie eben hier Argument $\begin{align*} \pi \end{align*}$ bei Radikand -128.

Ist das Argument des Radikanden hingegen negativ (z.B. bei $\begin{align*} \sqrt[7]{-128i} \end{align*}$ ), dann ist auch das Argument des Wurzelhauptwertes negativ.

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