Konfidenzintervalle: Formel umstellen

03.01.2018, 16:33

Pusteblume_

Konfidenzintervalle: Formel umstellen

Hallöchen

!

Kann mir jemand zeigen wie man von

KI = p - z (1- a/2) * Wurzel ((p*(1 - p)/n) zu n = (p * (1 - p))/ ((?)/z - 1 - a/2)^2 kommt?

Ich versteh das Umstellen der Formel einfach nicht.
Könnte mir das bitte vllt. jemand zeigen?

In Zahlen:

Aufgabenstellung: Wie groß muss Stichprobe für ein KI mit Spannweite 1% für Partei x,y sein?

Partei x,y: 35,5% von 1250

Spannweite: 1%/2= 0,005 (Warum muss man hier geteilt rechnen? Welche Variable hat 1%?)

n= (0,355*(1-0,355))/(0, 005/1,96)^2= 35185

Stichprobe muss 35185 Menschen umfassen.

Danke für eure Antworten!
Herzliche Grüße!

03.01.2018, 17:11

HAL 9000

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RE: Konfidenzintervalle: Formel umstellen

Zitat:

Original von Pusteblume_
Kann mir jemand zeigen wie man von

KI = p - z (1- a/2) * Wurzel ((p*(1 - p)/n) zu n = (p * (1 - p))/ ((?)/z - 1 - a/2)^2 kommt?

Gar nicht. Und damit meine ich nicht nur deine unsaubere Formeldarstellung, sondern dass du z.B. gar nicht das Konfidenzintervall angibst, sondern nur dessen linken Rand.

Ok, mal vom Kopf auf die Füße: Das Konfidenzintervall für den unbekannten Binomialverteilungsparameter $\begin{align*} p \end{align*}$ lautet

$\begin{align*} \left[ \hat{p} - z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \right] \end{align*}$ ,

es hat daher die Breite (oder wie du sagst "Spannweite") $\begin{align*} b = {\color{red}2}z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \end{align*}$ (diese 2 ist auch der Grund für die Halbierung deines Wertes 1%). $\begin{align*} \hat{p} \end{align*}$ ist dabei der relative Stimmanteil in deiner Stichprobe.

Wenn nun $\begin{align*} \hat{p} \end{align*}$ bekannt ist, außerdem das Signifikanzniveau $\begin{align*} 1-\alpha \end{align*}$ sowie diese Spannweite $\begin{align*} b \end{align*}$ , dann kann man diese $\begin{align*} b \end{align*}$ -Formel nach $\begin{align*} n \end{align*}$ umstellen, und genau das wurde gemacht (obwohl bei dir wieder mit einem Fragezeichen ? statt eines dort zu stehenden Variablensymbols verunstaltet):

$\begin{align*} b &= 2z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\qquad \bigm| \; ()^2\\ b^2 &= 4z_{1-\frac{\alpha}{2}}^2\cdot \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}\qquad \bigm| \cdot \frac{n}{b^2}\\ n &= 4z_{1-\frac{\alpha}{2}}^2\cdot \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{b^2} \end{align*}$

Kann man natürlich auch zu $\begin{align*} n = \frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{\left(\frac{b}{2z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\right)^2} \end{align*}$ umformen, wie es bei dir anscheinend geschehen ist, was ich persönlich ästhetisch weniger gelungen ansehe (für Doppelbrüche muss es schon gute Gründe geben, die ich hier nicht sehe).

05.01.2018, 20:39

Pusteblume_

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RE: Konfidenzintervalle: Formel umstellen
Supi! Herzlichen Dank für die Antwort!

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