Komplexe Potenzreihe

03.01.2018, 17:33

Kathreena

Komplexe Potenzreihe

Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden komplexen Potenzreihen:

1.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{5^n}{4^{2n+3}} \cdot z^n \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n(n-i)}{(3-4i)^n} \cdot (z+1-3i)^n \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

1.) Darf ich das so machen ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{5^n}{4^{2n+3}} \cdot z^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{5}{4^2})^n \cdot \frac{z^n}{4^3} = \frac{1}{4^3} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac{5}{16})^n \cdot z^n \end{eqnarray*}$

Wurzelkrit:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{5}{16}^n } = \frac{5}{16} = a \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius:
$\begin{eqnarray*} \rho = \frac{1}{a} = \frac{16}{5} = 3.2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall z \in \mathbb C : | z | < 3,2 : \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{5^n}{4^{2n+3}} \cdot z^n \end{eqnarray*}$ Absolute Konvergenz

2.) Keine Ahnung wie man mit den Komplexen zahlen rechnen soll. Ich denke ich wähle ein Kriterium, und dann muss ich eh den Betrag bilden, aber wie ?

04.01.2018, 08:49

klarsoweit

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RE: Komplexe Potenzreihe
Zu 1: ist ok.

Zitat:

Original von Kathreena
2.) Keine Ahnung wie man mit den Komplexen zahlen rechnen soll. Ich denke ich wähle ein Kriterium, und dann muss ich eh den Betrag bilden, aber wie ?

Du betrachtest für die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot z^n \end{eqnarray*}$ - wie auch bei den reellen Zahlen - entweder $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| \end{eqnarray*}$ . Und wie man bei einer komplexen Zahl den Betrag bildet, sollte ja wohl bekannt sein. smile

05.01.2018, 13:33

Kathreena

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Ok habs mal versucht.

$\begin{eqnarray*} a_n:= \frac{n(n-i)}{(3-4i)^n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_0 = -1 + 3i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n(n-i)}{(3-4i)^n} \cdot (z+1-3i)^n = \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n \cdot (z-z_0)^n \end{eqnarray*}$

Wurzelkrit:

a = $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ |\frac{n(n-i)}{(3-4i)^n}| } = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|\frac{n^2-n \cdot i}{(3-4i)^n}|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{\sqrt{n^4+n^2}}}{\sqrt[n]{\sqrt{3^2+4^2)}^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{\sqrt{n^4+n^2}}}{5} = \frac{1}{5} \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius:

$\begin{eqnarray*} \rho = \frac{1}{a} = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall z \in \mathbb C : | z | < 5 : \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{n(n-i)}{(3-4i)^n} \cdot (z+1-3i)^n \end{eqnarray*}$ Absolute Konvergenz

05.01.2018, 13:46

HAL 9000

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Fast richtig, bis auf ein wichtiges Detail in der letzten Zeile: Die Konvergenz liegt nicht für $\begin{align*} |z|<5 \end{align*}$ , sondern für $\begin{align*} |z-z_0|<5 \end{align*}$ vor, und dieses $\begin{align*} z_0 \end{align*}$ ist ja bei dir nicht gleich Null, sondern $\begin{align*} z_0=-1+3i \end{align*}$ .

05.01.2018, 15:20

Kathreena

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Danke, vielleicht noch ein Tipp zu dem hier ?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{n^n \cdot x^{3n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

Jetzt hab ich kein z. Und noch dazu ändert sich das vorzeichen, was wahrscheinlich heißt ich muss einmal den Grenzwert für n = ungerade, und einmal den Grenzwert für n = gerade berechnen.

Aber was mach ich mit x ?

05.01.2018, 15:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
Und noch dazu ändert sich das vorzeichen, was wahrscheinlich heißt ich muss einmal den Grenzwert für n = ungerade, und einmal den Grenzwert für n = gerade berechnen.

Dir ist schon klar, dass in den Formeln zu Quotienten- und Wurzelkriterium Beträge stehen?

Zitat:

Original von Kathreena
Aber was mach ich mit x ?

Wenn du Probleme hast, die Reihe wegen der Exponenten 3n statt n als Potenzreihe zu deuten, dann nimm einfach das normale Quotienten- und Wurzelkriterium (statt Cauchy-Hadamard u.a. Formeln für Potenzreihen), kommt auch gut hin.

06.01.2018, 10:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kathreena
Jetzt hab ich kein z.

Aber du hast ein x. Und x oder z ist Jacke wie Hose. Du kannst auch x³ = z substituieren. Dann hast du erstens ein z und zweitens eine schöne Potenzreihe. Augenzwinkern

06.01.2018, 18:42

Kathreena

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ok Dann hab ichs so umgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{(2n)!} \cdot z^{n} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} z = -x^3 \end{eqnarray*}$

Quotkrit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}} {(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n (2n+1)(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n (n+1)}{n^n (2n+1)2(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{4n^{n+1}+2n^n} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)^n < 4n^{n+1}+2n^n , \forall n > 0 \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius:
$\begin{eqnarray*} \rho = \infty \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich in dem fall dann Konvergenzintervall und Konvergenzverhalten an den Randpunkten ?

06.01.2018, 22:38

klarsoweit

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Scherzkeks, Randpunkt, wenn der Konvergenzradius unendlich ist. Big Laugh

07.01.2018, 14:54

Kathreena

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Ok, scheint wohl ein fehler in der Angabe zu sein.

Was wenn ich die Potenzreihe habe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{n^{2n}}{(2n)!} \cdot z^{n} \end{eqnarray*}$

Quotkrit:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+2}} {(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+2}}{n^{2n} (2n+1)(2n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+1} (n+1)}{n^{2n} (2n+1)2(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{2n+1}}{n^{2n}(4n+2)} \end{eqnarray*}$

Hier komm ich dann nichmehr weiter.

11.01.2018, 17:41

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} \frac{(n+1)^{2n+1}}{n^{2n}(4n+2)} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}\cdot \frac{n+1}{4n+2} \to \frac{e^2}{4} \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ , was zu Konvergenzradius $\begin{align*} R=\frac{4}{e^2} \end{align*}$ führt.

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