Fehlerfortpflanzungsgesetz bei nichtlinearen Gleichungssystemen

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ninjahaha Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerfortpflanzungsgesetz bei nichtlinearen Gleichungssystemen
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich wünsche euch allen zuerst ein frohes neues Jahr und komme direkt auf meine kleine Bitte an euch. Ich muss ein Programm in Fortran für das Fehlerfortpflanzungsgesetz für ein nichtlineares Gleichungssystem und ich habe ein bisschen Schwierigkeiten zu verstehen, wie die Fehler bei diesen Gleichungen propagiert werden.

Sagen wir z.B. wir haben zwei nichtlineare Gleichungen
F1 (x1,x2,z1,z2) = 0
F2( x3, x4, z1, z2) = 0.
Die Eingangsvariablen sind x1,x2,x3,x4 und die Standardabweichungen dieser Variablen sind bekannt (sigmax1...sigmax4). Die Ausgangsvariablen z1 und z2 werden durch Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems mit einem numerischen Lösungsverfahren (lese: Newton Methode) gefunden. Die Standabweichungen der Ausgangsvariablen werden jetzt gesucht, bzw. wie sich die Fehler der Eingangsvariablen in die Ausgangsgleichung fortpflanzen.

Das mögliche Problem hier ist: das die Ausgangsvariablen implizit definiert in den Gleichungen F1 = 0 und F2 = 0 sind.

Ich schreibe zuerst für den einfachen Fall einer nichtlinearen Gleichung und einer Unbekannten wie das aussieht, und für den Fall bekomme ich genaue Ergebnisse:



wobei ( durch implizite Differentiation ) :



Wenn ich das gleiche mache und erweitere es für zwei nichtlineare Gleichungen mit zwei Ausgangsvariablen, dann sehen meine Gleichungen so aus:





Ich kann die Jacobi-Matrix (für die partiellen Ableitungen) berechnen, alle Standardabweichungen für die Eingangsvariablen sind bekannt und wenn ich so die Standabweichungen für die Ausgangsvariablen berechnen will -> sind die falsch.

Ich bin eingeklemmt irgendwie, hab verschiedene Weisen versucht für Monate jetzt: Fehler mit dem totalen Differential zu berechnen, mit der Varianz-Kovarianz Matrix, aber ich kriege es irgendwie nicht hin.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!!

Edit (mY+): Bitte vermeide (harte) Zeilenumbrüche innerhalb LaTeX! Im Interesse der nicht gerade wenigen Chrome-User, die das nicht lesen können, wurden diese entfernt!

Meine Ideen:
Meine Gedanken dazu habe ich schon oben geschrieben. Einige weitere hier:

Alle EIngangsvariablen sind unabhängig voneinander, also gibt es keine Kovarianzen. Bedeutet das, das ich auch keine Kovarianzen in den Ausgangsvariablen haben, auch wenn die zwei zueinander abhängig sind (Fehler propagiert sich von Eingangsvariablen die voneinander unabhängig sind). In der Varianz-Kovarianz Matrix sind die Diagonaleinträge die Varianzen der Ausgangsvariablen, und wie werden die durch die Kovarianzen (im Fall das die vorhanden sind) überhaupt beeinflusst?
Lampe16 Auf diesen Beitrag antworten »

Vorschlag: Rechne zuerst (wie Du es auch schon angefangen hast) einen übersichtlichen linearen Fall nach Deinem Ansatz durch, z. B.


mit z. B. .
Da hast Du alles unter Kontrolle, rechnest vor allem die Ableitungen richtig und siehst am ehesten, wo der Fehler liegt.
In dem Beispiel sind alle 4 Ableitungen von gleich 1/2.
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