f(x)=ax²+bx+c Parameter bestimmen mit 3 Bedingungen

03.01.2018, 19:41

ICookie

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f(x)=ax²+bx+c Parameter bestimmen mit 3 Bedingungen

Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe lautet, dass man aus f(x)=ax²+bx+c die Parameter a,b,c bestimmen soll.

Die Voraussetzungen sind:
f(x)=f'(x)*f'(x)
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{2} \! f(x) \, dx = \frac{7}{12} \end{eqnarray*}$
f'(1)<0

Meine Ideen:
Ich habe leider keinerlei Ahnung, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Ich will nicht die Lösung sondern eine kleine Starthilfe!

Danke schonmal.

03.01.2018, 20:01

Helferlein

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Nutze die erste Bedingung, um über einen Koeffizientenvergleich die Werte einzuschränken.

03.01.2018, 21:11

ICookie

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Also einfach f(x) in die erste Bedingung und die Ableitung einsetzen?

Und dann?

03.01.2018, 21:18

Leopold

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Und dann einen Koeffizientenvergleich durchführen. Aus

$\begin{align*} ax^2 + bx + c = Px^2 + Qx + R \end{align*}$

darf man folgern:

$\begin{align*} a=P \, , \ b=Q \, , \ c = R \end{align*}$

03.01.2018, 21:48

ICookie

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Also so :

$\begin{eqnarray*} ax² + bx + c = (2ax+b)² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ax² + bx + c = 4a²x²+ 4abx + b² \end{eqnarray*}$

Aber jetzt weiß ich nicht weiter

03.01.2018, 21:50

Leopold

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$\begin{align*} \color{green} a \color{black} x^2 + \color{red} b \color{black} x + \color{blue} c \color{black} = \color{green} 4a^2 \color{black} x^2 + \color{red} 4ab \color{black} x + \color{blue} b^2 \end{align*}$

Jetzt einen Koeffizientenvergleich durchführen und Schlüsse daraus ziehen.

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03.01.2018, 22:03

ICookie

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Ja, dass dann

$\begin{eqnarray*} a = 4a² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = 4ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = b² \end{eqnarray*}$

gilt, ist mir auch noch klar. Aber jetzt muss ich doch so eliminieren, dass ich Werte für a, b und c bekomme oder?

Wie fange ich dort am besten an?

03.01.2018, 22:43

Leopold

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Die erste Gleichung wird unter anderem durch $\begin{align*} a=0 \end{align*}$ gelöst. Setzt man das in die zweite ein, erhält man $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ , und setzt man das in die dritte Gleichung ein, erhält man $\begin{align*} c=0 \end{align*}$ . Dann wäre aber $\begin{align*} f(x) = 0 \end{align*}$ die Nullfunktion. Jedes Integral über die Nullfunktion ist aber selber 0. Das widerspricht der Integralbedingung der Aufgabe.
Du darfst daher annehmen, daß $\begin{align*} a \neq 0 \end{align*}$ ist. Jetzt löse die erste Gleichung und ziehe Folgerungen für die zweite und dritte Gleichung.

03.01.2018, 23:55

ICookie

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Dann habe ich ja aus

$\begin{eqnarray*} 4a²-a = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a²-\frac{1}{4}a = 0 \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = 0,25 \end{eqnarray*}$

In b eingesetzt erhält man ja nun

$\begin{eqnarray*} b = b \end{eqnarray*}$

was ja darauf deutet, dass b eine beliebige Zahl ungleich 0 sein darf und c damit auch oder habe ich da nun was falsch verstanden?

04.01.2018, 00:01

Leopold

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Das stimmt beinahe.
Es bleibt nur noch der Fall $\begin{align*} a = \frac{1}{4} \end{align*}$ übrig. Leider liefert die zweite Gleichung dann nur $\begin{align*} b=b \end{align*}$ , was eine leere Bedingung ist, aus der man $\begin{align*} b \end{align*}$ nicht berechnen kann. Immerhin aber kann man wegen $\begin{align*} c = b^2 \end{align*}$ den Ansatz einparametrig machen:

$\begin{align*} f(x) = \frac{1}{4} x^2 + bx + b^2 = \frac{1}{4} \left( x + 2b \right)^2 \end{align*}$

Jetzt gehe damit in die Integralbedingung und berechne aus ihr $\begin{align*} b \end{align*}$ .

04.01.2018, 00:04

Mitleser

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Zitat:

dass b eine beliebige Zahl ungleich 0 sein darf und c damit auch oder habe ich da nun was falsch verstanden?

Ganz beliebig ist c nun auch nicht, c ist durch die Gleichung c=b² von b abhängig und wegen dem Quadrat schon mal nicht negativ.

Der Rest passt soweit. Damit kannst du f(x)=ax²+bx+c neben x nur noch durch b ausdrücken und somit b durch die Integralgleichung erhalten (Leopold hat es dir ja nun schon alles mundgerecht eingsetzt, wie ich in der Vorschau sehe).

04.01.2018, 00:42

ICookie

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Dann erhalte ich ja

$\begin{eqnarray*} b = -1,5 \end{eqnarray*}$

somit stimmt ja dann auch die 3. Bedingung überein da c hierfür ja nicht gebraucht wird.

$\begin{eqnarray*} c = b² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c = 2,25 \end{eqnarray*}$

Damit wäre dann meine Gleichung:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{4}x² - \frac{3}{2}x + \frac{9}{4} \end{eqnarray*}$

Ich danke euch für eure Hilfe und hoffe das passt jetzt alles soweit.

04.01.2018, 09:41

Leopold

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Bei der Anwendung der Integralbedingung erhält man auch noch die Lösung $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ . Hast du daran gedacht? Allerdings scheidet diese Lösung wegen $\begin{align*} f'(1)<0 \end{align*}$ dann aus.

04.01.2018, 11:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Allerdings scheidet diese Lösung wegen $\begin{align*} f'(1)<0 \end{align*}$ dann aus.

So formuliert könnte das missverstanden werden. Tatsächlich scheidet sie aus wegen

a) $\begin{align*} f'(1)>0 \end{align*}$

bzw.

b) Nichterfüllung der Bedingung $\begin{align*} f'(1)<0 \end{align*}$ .

Eins von beiden hast du wohl gemeint.

04.01.2018, 12:26

Leopold

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Natürlich meinte ich b). Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Leopold
Bei der Anwendung der Integralbedingung erhält man auch noch die Lösung $\begin{align*} b=0 \end{align*}$ . Hast du daran gedacht? Allerdings scheidet diese Lösung wegen der noch zu erfüllenden Bedingung $\begin{align*} f'(1)<0 \end{align*}$ dann aus.

04.01.2018, 14:15

ICookie

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Ja, daran habe ich gedacht.

Danke nochmal euch!

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