Didaktik und Kettenregel - Seite 2

04.01.2018, 17:56

G040118

Mehr als kapitulieren kann ich nicht. Dann war halt alles umsonst.
Ich hatte zumindest gute Absichten. Aber auch das könnt ihr gerne bestreiten.

04.01.2018, 19:09

Mitleser

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Zitat:

Dann war halt alles umsonst.

Dass und warum hier eben nicht alles umsonst war, das schrieb ich ja in meinem letzten Beitrag.
Redundant empfand ich nur deine letzten Beiträge, denn deinen Standpunkt hast du ja nun schon lange mehr als deutlich gemacht und das Problem, welches wir damit lediglich hatten, dem wolltest du dich nun mal nicht annehmen und nicht drauf eingehen, trotz immer wieder kehrender Ermunterungen:

Zitat:

Wenn du dich schon so rausredest, dann schreibe doch statt "wird" wenigstens "kann....abgeleitet werden".

Zitat:

Vielleicht, weil eine Person ihre Privatmeinung mit einer Art "demokratischer Abstimmung" zum mathematischen Grundprinzip erklären wollte. So kann man aber keine Mathematik machen.

Zitat:

Mir gings darum, weil die Kettenregel eben nicht gewendet werden muss -- strenggenommen oder nicht.

Zitat:

Der Zirkus wäre ausgeblieben, wenn du einfach gesagt hättest: "Ah ja, richtig, die Kettenregel braucht man hier gar nicht."

All diese Zitate laufen ja im Kern auf dasselbe hinaus.

Die ganzen weiteren Unterhaltungen hatten dann eigentlich nur wenig mit dir zu tun, sondern war eher ein Austausch anderer User zu dem Thema.

Zitat:

Ich hatte zumindest gute Absichten. Aber auch das könnt ihr gerne bestreiten.

Diese Art von Kommentaren kann leicht dazu führen, dass der Respekt vor dir nicht unbedingt anwächst - nur mal so am Rande.

05.01.2018, 09:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von IfindU
Mir gings darum, weil die Kettenregel eben nicht gewendet werden muss -- strenggenommen oder nicht.

Dazu noch eine Ergänzung: meines Erachtens wurde die Kettenregel von den Mathematikern "erfunden", um auch eine verkettete Funktion - also $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ - mit differenzierbaren Funktionen f und g differenzieren zu können. Die Betrachtung einer verketteten Funktion, wo g die Identität ist, ergibt jedoch in der Regel keinen Sinn, da man wegen $\begin{eqnarray*} f \circ g = f \end{eqnarray*}$ direkt auch die Funktion f untersuchen kann. Vielleicht sollten die Mathematiker für die Handhabung der Kettenregel noch folgende Handlungsanweisung beilegen:
a) Ist die Funktion g nicht die Identität, wende die Kettenregel an.
b) Ist die Funktion g die Identität, ist die Anwendung der Kettenregel im Prinzip möglich, aber nicht erforderlich.

Ich denke, damit könnten alle Beteiligten leben (wenn sie es denn wollten).

05.01.2018, 09:44

Leopold

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Ich frage mich, ob man für eine Selbstverständlichkeit wirklich Handlungsanweisungen braucht. Es käme doch auch niemand auf die Idee, bei $\begin{align*} f(x) = 2x^5 \end{align*}$ die Produktregel für die Faktoren $\begin{align*} u(x) = 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} v(x) = x^5 \end{align*}$ anzuwenden, obwohl das selbstverständlich ginge.

05.01.2018, 09:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von Leopold
Es käme doch auch niemand auf die Idee

Und ich hätte fast drauf gewettet, dass dir genau das in deiner langjährigen Berufserfahrung schon mal untergekommen ist. Augenzwinkern

Auf jeden Fall gibt es genug Leute, die $\begin{align*} f(x) = \frac{2}{x^5} \end{align*}$ mit der Quotientenregel ableiten, kann mich zumindest erinnern, ähnliches schon häufig hier im Board gesehen zu haben - aber OK, das ist vielleicht nicht ganz vergleichbar mit deinem Beispiel.

05.01.2018, 10:19

Iorek

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Zitat:

Original von Leopold
Es käme doch auch niemand auf die Idee, bei $\begin{align*} f(x) = 2x^5 \end{align*}$ die Produktregel für die Faktoren $\begin{align*} u(x) = 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} v(x) = x^5 \end{align*}$ anzuwenden, obwohl das selbstverständlich ginge.

Ich bin letztens über eine Übungsaufgabe zur Produktregelgestolpert, wo die Ableitung von $\begin{align*} f(x)=(x+1)(x+2) \end{align*}$ bestimmt werden sollte...das dürfte wohl eine Konsequenz davon sein, dass die Welt im Mathematikunterricht ganzrational geworden ist und so böse Auswüchse wie Sinus- oder Exponential- oder Logarithmusfunktionen doch bitte nicht mehr vorkommen sollen (zumindest bezogen auf den Grundkurs, im Leistungskurs ist aktuell noch ein klein wenig Inhalt zu finden).

05.01.2018, 11:08

Leopold

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Wobei ich dein Beispiel aus didaktischen Gründen gar nicht für übel halte. Es sollte halt nur nicht das einzige Beispiel sein. Immerhin kann man daran schön demonstrieren, daß beide Zugänge dasselbe liefern.

Standard-Polynomdarstellung
$\begin{align*} f(x) = (x+1)(x+2) = x^2 + 2x + x + 2 = x^2 + 3x + 2 \, , \ \ f'(x) = 2x + 3 \end{align*}$

Alternative mit Produktregel:
$\begin{align*} f'(x) = 1 \cdot (x+2) + (x+1) \cdot 1 = 2x + 3 \end{align*}$

Wenn wir jetzt allerdings anfangen, uns darüber zu unterhalten, was hier einfacher oder gar besser ist, könnte der Streit so hitzig werden, daß die Raumtemperaturen 30° deutlich übersteigen, was HALs schwülem Sommertag schon ziemlich nahe kommt.

Neutrale Elemente einer Operation anzuhängen ergibt beim praktischen Rechnen einfach keinen großen Sinn.

Addition
$\begin{align*} f(x) = x^7 \end{align*}$ nach der Summenregel ableiten, indem man $\begin{align*} f(x) = x^7 + 0 \end{align*}$ interpretiert

Multiplikation
$\begin{align*} f(x) = x^7 \end{align*}$ nach der Produktregel ableiten, indem man $\begin{align*} f(x) = 1 \cdot x^7 \end{align*}$ interpretiert

Verkettung
$\begin{align*} f(x) = x^7 \end{align*}$ nach der Kettenregel ableiten, indem man $\begin{align*} f(x) = \left( f \circ \operatorname{id} \right)(x) \end{align*}$ interpretiert mit $\begin{align*} \operatorname{id} \end{align*}$ als der Identität

Da wird man ja nie fertig:
$\begin{align*} f(x) = 1 \cdot \left( f \circ \operatorname{id} \right)(x) + 0 \end{align*}$

Vor allem, weil man das beliebig wiederholen kann:
$\begin{align*} f(x) = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \left( f \circ \operatorname{id} \circ \operatorname{id} \right)(x) + 0 + 0 + 0 \end{align*}$

Daß es besondere Umstände geben kann, wo es rechentechnisch clever ist, eine "intelligente Null", "intelligente 1", "intelligente Identität" einzuschieben, steht auf einem anderen Blatt. Jeder Mathematiker kennt solche Situationen. Für das bloße routinehafte Ableiten einer Exponentialfunktion ist das aber abwegig.

05.01.2018, 11:12

Iorek

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Das hätte ich vielleicht dazu schreiben sollen, es gab keine relevanten anderen Beispiele, da bis auf Polynomfunktionen keine weiteren Funktionen mit Ableitung bekannt sind. Was ich noch gelten lassen würde: Faktoren die jeweils Polynome höheren Grades sind (gefühlt würde ich jetzt Grad 3 oder höher sagen). Das würde ich ungern ausmultiplizieren und lieber mit der Produktregel arbeiten, aber auch das ist nicht vorgekommen.

05.01.2018, 11:40

Leopold

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Ganz unbescheiden zitiere ich mich selber:

Zitat:

Original von Leopold
Als in den Neunzigerjahren die ersten TIMMS- und PISA-Studien erschienen, war ich noch voller Hoffnung: Endlich merkt einmal jemand, daß etwas nicht stimmt! Was aber dann folgte, war reiner Horror. Die Verantwortlichen hatten es nie auf eine Verbesserung der Leistungen abgesehen, sondern immer nur auf eine Verbesserung der Noten. Zugleich hat man den Zugang zu den Gymnasien in den meisten Bundesländern von den Leistungen abgekoppelt und das Gymnasium für fast jedermann geöffnet. Da man aber nicht wollte, daß die Hälfte der Schüler scheitert, hat man einfach die Anforderungen gesenkt (und das mit hochtrabenden Begriffen kaschiert). Und so werden seit Jahren die Abiturschnitte immer besser und die Kenntnisse und Fertigkeiten der Schüler immer schlechter.

Alles, woran man scheitern könnte, wird aus dem Unterricht eliminiert. Der neusprachliche Unterricht beschränkt sich oft auf das Ausfüllen von Lückentexten, das selbständige Verfassen längerer zusammenhängender Texte in korrekter Grammatik wird immer seltener verlangt. Und in der Mathematik wird das Erfassen von Strukturen nur noch in einfachsten Varianten gefordert, und das Entwickeln selbständiger Strategien wird zurückgedrängt durch das bloße routinehafte Rechnen nach immer demselben Schema. Gut, solche Aufgaben gab es immer, so daß auch die schwächeren Schüler ihr "ausreichend" schaffen konnten, aber heute nehmen diese Aufgaben den überwiegenden Teil einer Prüfung ein.

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