Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen

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Nicoost Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen
Meine Frage:
Hallo,
Ich stehe bei Reihen leider auf dem Schlauch..
Die folgenden vier Aufgaben soll ich zu Konvergenz lösen:


Die anderen haben ich jetzt mal fotografiert..:
https://imgur.com/a/uy393

Bei der Aufgabe a habe ich das Leibnizkriterium benutzt und bin auf die Lösung gekommen, das es konvergent ist. Bei den anderen stehen ich allerdings komplett auf dem Schlauch..
kann mir vielleicht jemand sagen, mit welchen Kriterien ich bei den einzelnen Aufgaben arbeiten muss und auch vielleicht, warum er das so machen würde.
Dann könnte ich wenigstens die Rechnung versuchen..

Wäre sehr dankbar..



Meine Ideen:
Ich habe bei a) ak und ak+1 gebildet. Dann ak>=ak+1 geprüft. Da dies richtig war habe ich angenommen es ist Konvergent...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

a) ist richtig. Freude
D.h., diese Reihe ist konvergent. Es fehlt aber noch die Aussage hinsichtlich absoluter Konvergenz - liegt die hier auch vor?

Wie die erste Formel beweist, beherrscht du das Board-LaTeX ausreichend, um auch die anderen drei Reihen hier so einstellen zu können.

Das erhöht übrigens auch immens die Hilfsbereitschaft, da ein Antwortender das gleich mal per Copy+Paste übernehmen kann. smile


P.S.: Im übrigen wird hier nicht gern gesehen, wenn Bilder von externen Filehostern eingebunden werden - die verschwinden gewöhnlich nach kurzer Zeit, womit der Thread für spätere Leser nicht nachvollziehbar ist (ja, daran muss man auch denken). unglücklich
Nicoost Auf diesen Beitrag antworten »

Auf absolute Konvergenz habe ich nicht überprüft.. wie muss ich da denn vorgehen?

Ja das werde ich bearbeiten..

Danke schonmal!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, absolute Konvergenz liegt vor, wenn auch die Reihe der Beträge konvergiert, das wäre hier dann .
Nicoost Auf diesen Beitrag antworten »
Die Anderen Aufgaben!!
B)
Kann im Editor leider keine Fakultät finden..
(k über 3) / k!


C)


D)
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Na ist doch schon ganz gut - besser als das was manche nach 100 Beiträgen hinwürgen. Freude


Zu b) Es ist . Einsetzen in , scharf anschauen, kürzen - dann kann man sogar den Reihenwert berechnen (ist aber nicht nötig hier).

Zu c) Die notwendige Bedingung für Reihenkonvergenz lautet, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden...

Zu d) Quotientenkriterium würde sich anbieten. (Auch hier kann man übrigens den Reihenwert berechnen.)
 
 
Nicoost Auf diesen Beitrag antworten »

Habe bei a) jetzt so umgeformt, dass man erkennen kann, dass es gegen 0 läuft, daher eine Nullfolge ist.

Reicht das für die absolute Konvergenz ?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du wohl was ganz gewaltig in den falschen Hals gekriegt: Dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden, ist eine notwendige Bedingung zur Reihenkonvergenz (siehe meine diesbezügliche Bemerkung zu c)), aber beileibe nicht hinreichend. Zu letzterem dienen die üblichen Kriterien (Quotienten, Wurzel, Minorante, Majorante ... um mal die wichtigsten zu nennen), die man da so kennenlernt.
Nicoost Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje okay..
ich verzweifle noch an den Reihen...

Und mit welchem Kriterium gehe ich dann da ran ?..

In der übungsgruppe hat der Dozent bei einer ähnlichen Aufgaben 2 Zeilen geschrieben und hatte die Lösung..
Erst hat er Leibniz genommen und dann geprüft ob der Betrag gegen 0 läuft.. das war alles was er bei selber Fragestellung und ähnlicher Aufgabe gemacht hat...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Fall a) hilft bei der Absolutreihe das Minorantenkriterium (wir weisen also Divergenz hier nach):

Es ist , und damit hat man die Abschätzung . Die Reihe ist dann die Minorante, und die divergiert - warum?
Nicoost Auf diesen Beitrag antworten »

Warum divergiert 1/k ..

Läuft das nicht eigentlich gegen 0?



Also bei c bin ich jetzt auf die Lösung gekommen, dass es keine nullfolge ist.
Nicoost Auf diesen Beitrag antworten »

Okay hab es mir nachgelesen, warum 1/k divergiert..
Danke erstmal smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Nicoost
Warum divergiert 1/k ..

Gewöhne dir bitte mal eine sauberere Schreibweise an:

1) Die Folge konvergiert, und zwar gegen Null. Aber um die geht es nicht, sondern um

2) Die Reihe divergiert ( --> Harmonische Reihe ).

Deine von mir zitierte Aussage ist also in dieser Form nichts weiter als Bullshit.

P.S.: Bin überhaupt ziemlich verwundert, dass bei dir nahezu keine Grundlagenkenntnisse zu Reihen vorhanden zu sein scheinen. Entweder ist das nicht mehr Gymnasialstoff, oder du hast alles vergessen. verwirrt
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Deine von mir zitierte Aussage ist also in dieser Form nichts weiter als Bullshit.

<OT>
In Zeiten von What's App ist jeder bemüht, ein Minimum von Zeichen zu schreiben. Den Rest darf sich der Leser selbst zusammenreimen. Irgendwann ist das allerdings eine Zumutung. Augenzwinkern
</OT>
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Angezeigt wäre, sich in den anderen hineinzuversetzen und unter diesem Gesichtspunkt mal zu prüfen, ob das, was man schreibt, eindeutig und verständlich ist. Da ist in der Mathematik auch eine hohe Präzision der Sprache notwendig. Für ein "warum divergiert die summe über 1/k" müssten doch die Daumen schnell genug über die Tastatur sausen. <<160 Zeichen Augenzwinkern
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