Flächeninhalt über Hyperbel, X-Achse und Punkt x,y

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HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt über Hyperbel, X-Achse und Punkt x,y
Meine Frage:
Guten Abend,
ich bräuchte mal einen kleinen Denkanstoß bei folgender Aufgabe:
[attach]46171[/attach]



Meine Ideen:
Die Hyperbel kann ich Umstellen nach .
Der Punkt x,y, der aus entsteht müsste dann eine der Grenzen für das Integral sein, also a oder b von .

Nur finde ich leider keinen richtigen Ansatz für die AUfgabe, ich weiß nicht was ich integriesen muss und ob x oder y nun die Grenzen sind.
Wäre für Tipps sehr dankbar
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fläche ist

Der Punkt <x, y> = <cosh(t), sinh(t)> liegt auf der Hyperbel, denn seine Koordinaten erfüllen die Hyperbelgleichung:



Dies ist eine allgemein gültige Beziehung zwischen den beiden Hyperbelfunktionen sinh und cosh.
Mit anderen Worten

ist eine Parameterdarstellung der Funktion

Somit wird bei der Integration nach t anstatt nach x diese Substitution geradezu zwingend: , auch weil die Fläche in dem Parameter t angegeben werden soll.



Mit Hilfe der Substitution ist nun noch in umzurechnen und auch die Grenzen x = 1, x werden zu t = 0, t.

mY+
HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt
Ich hatte jetzt eine Idee:
[attach]46174[/attach]


Ist das soweit richtig?
Nun muss ich nur noch wissen wie man die Integrale zusammefürht und wie man \tanh(t)x intigriert.

Gibt es da ein paar vorschläge?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Unsere Beiträge haben sich zwar überschnitten, aber so weit sind deine Überlegungen richtig.
Das Dreieck kann einfacher als das halbe Rechteck berechnet werden. tanh(t)*x willst du ja nicht wirklich integrieren? (.. wie würde die untere Grenze x = 0 in t lauten?)

Die Grenzen sind nun anstatt a, b eben beim Dreieck 0 und x und beim Hyperbelsegment 1 und x (1 ist die Nullstelle der Hyperbel) bzw. 0 und t (überlege, weshalb dies so ist).

Kannst du dem anderen so weit folgen?

mY+
HenneMa Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Flächeninhalt
Danke für deine Antwort,

teiweise kann ich deine Antwort nachvollziehen und auch das die Fläche für das Dreiech einfacher berechnet werden kann.
Der Punkt x,y ergibt sich aus und .
Also
(Ich bin mir nicht hundertprozentig sicher, aber das sollte für jedes t>0 passen oder?)

Ich verstehe auch, das der Punkt von und auf der Hyperbel liegen muss. Ich verstehe aber nicht warum Sie x mit substituieren. Ich soll ja nutzen.

Mit diesem Teil Ihrer Antwort habe ich noch Probleme:
"Somit wird bei der Integration nach t anstatt nach x diese Substitution geradezu zwingend: , auch weil die Fläche in dem Parameter t angegeben werden soll.

Mit Hilfe der Substitution ist nun noch in umzurechnen und auch die Grenzen x = 1, x werden zu t = 0, t."


Genau so wie mit dem Gedanken was jetzt die Grenzen sind:
"Die Grenzen sind nun anstatt a, b eben beim Dreieck 0 und x und beim Hyperbelsegment 1 und x (1 ist die Nullstelle der Hyperbel) bzw. 0 und t (überlege, weshalb dies so ist)."

Die Fläche des Dreiecks ist immer , von dieser wird st abgezogen.

Das a=1 sein muss verstehe ich auch (Aus was negativen gibt es keine Wurzel), kann ich b dann einfach x bzw. setzen, so dass ich erhalte:

?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
ist eine Parameterdarstellung der Funktion

Das ist so geschrieben etwas heikel, weil nur im ersten Quadranten wirklich gültig.

Genauer wäre wohl: Es ist eine Parameterdarstellung der Funktion .

Denn zum einen wird der Teil der Funktion nicht dargestellt, zum anderen erfasst diese Parameterdarstellung für die Funktion für .
 
 
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir duzen uns hier im Forum, dabei gibt's keine Probleme .. Augenzwinkern

Ich habe in meinem Beitrag deswegen genommen, weil es in der Angabe auch so steht (!) Wie kommst du auf ? Aber Namen sind ja beliebig, rechne ebenso mit s, wenn es dir dann leichter fällt.
Laut der Angabe ist ; die Parameterdarstellung gilt allerdings nur bei ab um mit der Skizze konform zu gehen.
Der Bereich für ist dann auf einzuschränken.

So weit stimmt nun deine Fläche, allerdings hast du den Wurzelausdruck und auch noch umzuformen!

Die Wurzel geht in über und der gesamte Integrand dann in , womit das Integral (mittels Umwandlung in die e-Funktionen) leicht zu berechnen ist.

mY+
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