Fibonacci-Zahlen

04.01.2018, 19:51	User2018	Auf diesen Beitrag antworten »
Fibonacci-Zahlen Meine Frage: Hallo zusammen, es geht um einen kleinen Beweis: Sei N eine natürliche Zahl, die keine Fibonacci-Zahl ist. Sei F(n) die n-te Fibonacci-Zahl und die größte Fibonacci-Zahl, die N nicht überschreitet. Zeigen Sie, dass N-F(n) kleiner sein muss als die nächstkleinere Fibonacci-Zahl F(n-1). Meine Ideen: Kann man meinen Beweis als Beweis durchgehen lassen oder muss man allgemeiner vorgehen? n = 0 -> F(0) = 0 n = 1 -> F(1) = 1 n = 2 -> F(2) = 1 n = 3 -> F(3) = 2 n = 4 -> F(4) = 3 N = 4 (4 ist eine nat. Zahl und keine Fibonacci-Zahl) In diesem Fall ist F(4) die größte Fibonacci-Zahl, die N nicht überschreitet. Zu zeigen: N-F(n) < F(n-1) N-F(n) = 4-F(4) = 4-3 = 1 < F(4-1) < F(3) < 2 LG und danke schon mal im Voraus.
04.01.2018, 20:09	forbin	Auf diesen Beitrag antworten »
Du müsstest es für alle Fibonacci-Zahlen zeigen. Soviel Zeit haben wir nicht Schreiben wir uns doch mal auf, was wir wissen: $\begin{eqnarray} N\in\mathbb N, \text{keine Fibonacci-Zahl} \end{eqnarray}$ Außerdem wissen wir die Größenordnung von N, nämlich $\begin{eqnarray} F(n)\leq N \end{eqnarray}$ . Nun schauen wir uns mal die Vorschrift der Fibonacci-Zahlen an, die da wie lautet?
04.01.2018, 20:49	Matt Eagle	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fibonacci-Zahlen Ist $\begin{eqnarray} F(n) \end{eqnarray}$ die größte Fibonacci-Zahl, die $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ nicht überschreitet, dann gilt offenbar: $\begin{eqnarray} F(n+1)>N. \end{eqnarray}$ Jetzt kannst Du die Rekursionsformel ins Spiel bringen und dann steht's eigentlich schon da...
04.01.2018, 21:11	User2018	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten! Ich glaub, ich hab's. F(n+1) > N F(n+1) = F(n)+F(n-1) => F(n)+F(n-1) > N \|-F(n) <=> F(n-1) > N-F(n) Stimmt das so? LG + schönen Abend noch!

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