Rang/Verkettung von Endomorphismen

04.01.2018, 19:57	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
Rang/Verkettung von Endomorphismen Meine Frage: Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe nicht ganz weiter. Ich weiß, was mit Rang und der Verkettung gemeint ist, ich weiß nur nicht, wie man an diese Aufgabe herangehen soll... Meine Ideen: Ich brauche einen Ansatz
05.01.2018, 09:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du weißt, dass mit Rang einer linearen Abbildung die Dimension des Bildraums gemeint ist, kannst du mit Dimensionen von Vektorräumen an diese Aufgabe herangehen.
05.01.2018, 15:38	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmmh, irgendwie ist mir nicht ganz klar, was mit dem Rang einer Verkettung gemeint ist. Heißt das, dass rk(f o g) in diesem Fall der Dimension des Bildes der Abbildung h:V->U entspricht. (f für W->V und g für U->W) Bei den Dimensionen von Vektorräumen weiß ich nur, dass rk(f) <= dim(W) und rk(g) <= dim(V) gilt und was der Rangsatz ist. Was müsste ich noch wissen, um die Aufgabe zu lösen?
05.01.2018, 18:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit hast du nichts falsch gemacht. Dein Wissen sollte genügen, um die Aufgabe zu bearbeiten. Die Ungleichungen sind ziemlich leicht zu beweisen, denn ein Bild kann nach dem Rangsatz keine größere Dimension haben als das Urbild. Für die restlichen Behauptungen ist der Rangsatz zweifellos auch nützlich. Tipp: Zeichne ein Abbildungsdiagramm mit Vektorräumen, Kernen und Bildräumen, das unterstützt die Phantasie und das Denken.
06.01.2018, 12:44	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Ungleichheiten habe ich verstanden, danke dafür schon mal Bei den anderen beiden Behauptungen fehlt mir leider wieder die Idee dahinter. Eine Frage dazu: Wenn man von der Gleichheit ausgeht, heißt das dann, dass rk(f) = dim(W) und rk(g) = dim(V) gilt?
06.01.2018, 13:05	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das heißt es nicht. Male Bildchen, dann wird dir schnell alles klar. Beachte insbesondere die verschiedenen Möglichkeiten für die gegenseitige Lage von im(f)=f(V) und ker(g).
Anzeige

06.01.2018, 14:04	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß echt nicht weiter, wie man das darstellen kann, tut mir leid :/. Könntest du mir ein Beispiel geben?
06.01.2018, 14:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Keine Zeit. Heute abend kommt ein Bildchen.
06.01.2018, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
So oder so muss das aussehen. Jetzt darfst du nachdenken, was man daraus schließen kann. Mit etwas Formulierkunst machst du daraus Beweise für die Aussagen deiner Aufgabe.
06.01.2018, 20:13	HelpMe135	Auf diesen Beitrag antworten »
Ouha, das hilft wirklich enorm. Jetzt wird mir einiges klar, vielen Dank dafür
06.01.2018, 22:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. So und nicht anders visualisiert man die wichtigsten Theoreme der Algebra, nämlich Homomorphiesaetze und Isomorphiesaetze, als isomorphe Verbandsstrukturen der algebraischen Teilstrukturen. V und ker( $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ ) hätte ich noch durch einen senkrechten Strich verbinden und darunter den Nullraum von V anbringen sollen, aber das Prinzip sollte klar sein.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »